Rasyonel İfadeler

Rasyonel ifade, payında da paydasında da bir polinom bulunan kesirdir. Rasyonel ifadeyi genellikle daha kısa, daha güzel bir ifadeye sadeleştirmeye çalışırız.

Temel Bilgiler

Yani bir kez daha: rasyonel ifadenin biçimi şöyledir:

$$\frac{\text{polinom}}{\text{polinom}}$$

Rasyonel ifadeye örnek olarak şu ifade verilebilir:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Görev, bu ifadeyi sadeleştirmektir. Sadeleştirirken polinomları düzenlerken kullandığımız yöntemlerin aynısından yararlanırız; örneğin ortak çarpan parantezine alma yönteminden ve çeşitli yararlı formüllerden. Bir sonraki bölüm en çok kullanılan işlemleri özetliyor.

Rasyonel ifadenin paydasında bir değişken bulunmalıdır; örneğin aşağıdaki ifadeye rasyonel ifade demeyiz:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Rasyonel ifadelerde genellikle ifadenin anlamlı olduğu koşulları da belirleriz. Rasyonel ifadede payda sıfıra eşit olamaz, çünkü bildiğimiz gibi sıfıra bölme yapılamaz.

Teknikler

İfadeleri düzenlerken çok sayıda teknik kullanırız; yaygın olanlardan bir özet yazmaya çalışayım. Her şeyden önce kesirlerde sadeleştirme gelir. Pay ve paydada yalnızca birbiriyle çarpılan ifadeler varsa sadeleştirebiliriz:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Burada a değişkenini sadeleştirdik. Kesir şöyle görünseydi

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

sadeleştiremezdik. Pay bir toplamdır, bu yüzden sadeleştirmeye izin verilmez. Çoğu zaman kesrin paydası ya da payı toplam biçimindedir, ama ifadede bir şeyi ortak çarpan parantezine alabiliriz ve ondan sonra sadeleştirebiliriz. Örneğin

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

kesrinin payı toplam biçimindedir, ama a’yı ortak çarpan parantezine alıp ardından sadeleştirebiliriz:

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Bir şeyi bir formüle göre çarpanlarına ayırmak da sık yapılan bir düzenlemedir. Yukarıda şu rasyonel ifademiz vardı:

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Paya şu formülü uygularsak

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

yeni bir rasyonel ifade elde ederiz:

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

ve burada (x + 1) parantezinin tamamını sadeleştirebiliriz:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Bunlardan sonra elbette çeşitli polinomlarda toplama ve çarpma, üslü ifadelerde düzenlemeler, kesirlerde toplama vb. gelir.

Birinci Örnek

Sadeleştirilecek ifade:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Pay ve paydada 2’yi ortak çarpan parantezine alabildiğimizi görüyoruz; sonra bunu sadeleştirebiliriz:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Pay kısmında ayrıca 3’ü de ortak çarpan parantezine alabiliriz:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

a + 2b ifadesinin tamamını sadeleştirebiliriz ve geriye yalnızca 3 kalır:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Bu rasyonel ifadenin tanımlı olma koşulları:

$$a+2b\ne 0$$

İkinci Örnek

Sadeleştirilecek ifade:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

İlk adımda iç parantezdeki kesirleri çıkarırız:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Sonra paydadaki parantezleri açarız. Dikkatli öğrenciler a² − b² formülünü uygulayabileceğimizi fark edebilir:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Birinci kesrin paydasında, ikinci kesrin payıyla aynı ifade var ve bu kesirleri çarptığımız için bu ifadeyi sadeleştirebiliriz:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Şimdi biraz zahmetli işlem yapmamız, pay kısmındaki parantezleri açıp toplamamız ve sonunda basitçe sadeleştirmemiz gerekiyor:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Tanımlı olma koşullarını verilenlere göre belirleriz. Orada toplam üç kesir var; hiçbir paydanın sıfıra eşit olmaması gerekir.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Üçüncü Örnek

Sıradaki rasyonel ifade:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Yine sıkıcı biçimde önce parantezlerdeki ifadeleri toplar ve çıkarırız. İlk fark kolay olacak, çünkü iki kesrin paydaları aynı.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Paylardaki parantezleri açıp ifadeleri toplarız:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Birinci kesirde b değişkenini sadeleştiririz ve 2’yi birinci kesre ekleyebilmek için a ile genişletiriz:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Birinci parantezdeki kesirleri toplarız; ikinci kesrin payında ise a’yı ortak çarpan parantezine alırız.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Şimdi a’yı sadeleştirebiliriz:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Şimdi soldaki ifadeyi kesirle çarparız.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Birinci parantezden 2’yi ortak çarpan parantezine alırız:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Şimdi (1 + a) ifadesini sadeleştirebiliriz (paydada aynı ifade var, yalnızca ters sırada: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

İşte bu, nihai sadeleştirilmiş rasyonel ifade; bu ifadeyle artık makul bir şey yapılamaz. Tanımlı olma koşulları:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Polinomlarda Bölme

Rasyonel ifadeleri bir polinomu başka bir polinoma bölme algoritmasıyla da çözebilirsin. Bu, ifadeleri düzenlemek için klasik bir araç kullanılamadığında avantajlı olabilir.