Törtkifejezések

A törtkifejezés olyan tört, amelynek a számlálójában és a nevezőjében is valamilyen polinom áll. A törtkifejezéseket jellemzően valamilyen rövidebb, szebb kifejezésre próbáljuk egyszerűsíteni.

Alapok

Tehát még egyszer: a törtkifejezés alakja a következő:

$$\frac{\text{polinom}}{\text{polinom}}$$

Törtkifejezés például a következő kifejezés:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

A feladat ennek a kifejezésnek az egyszerűsítése. Az egyszerűsítésnél ugyanazokat az eljárásokat használjuk, mint a polinomok átalakításánál, tehát például a kiemelést és különféle hasznos képleteket. A következő fejezet összefoglalja a leggyakoribb átalakításokat.

A törtkifejezés nevezőjében kell lennie valamilyen változónak, például erről nem mondjuk, hogy törtkifejezés:

$$\frac{2x+3}{2}$$

A törtkifejezésnél általában meghatározzuk azokat a feltételeket is, amelyek mellett a törtkifejezésnek van értelme. A törtkifejezésnél ugyanis a nevező nem lehet nulla, mert – ahogy tudjuk – nullával nem osztunk.

Technikák

A kifejezések átalakításánál sok technikát használunk, megpróbálok összeírni egy összefoglalót a gyakoriakról. Mindenekelőtt a törtek egyszerűsítése. Ha tehát a számlálóban és a nevezőben olyan kifejezések állnak, amelyeket csak összeszorzunk, egyszerűsíthetünk:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Itt a-val egyszerűsítettünk. Ha a tört így nézne ki

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

akkor nem egyszerűsíthetünk. A számláló összeg, ezért az egyszerűsítés nem megengedett. Gyakran előfordul, hogy a tört nevezője vagy számlálója összeg alakú, de az adott kifejezésből ki tudunk emelni valamit, és utána már egyszerűsíthetünk. Például az

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

törtben a számláló összeg alakú, de kiemelhetjük az a-t, majd egyszerűsíthetünk:

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Gyakori átalakítás az is, hogy valamit felbontunk valamilyen képlet szerint. Fentebb már szerepelt ez a törtkifejezés:

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Ha a számlálóra alkalmazzuk a

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

képletet, új törtkifejezést kapunk:

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

és itt már az egész (x + 1) zárójellel egyszerűsíthetünk:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Aztán természetesen a polinomok összeadása és szorzása, a hatványok átalakítása, a törtek összeadása és hasonlók.

Első példa

Feladat:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Látjuk, hogy a számlálóból is, a nevezőből is kiemelhetjük a kettest, amellyel aztán egyszerűsíthetünk:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

A számlálóból még a hármast is kiemelhetjük:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Az egész a + 2b kifejezéssel egyszerűsíthetünk, és csak a hármas marad:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Ennek a törtkifejezésnek a kikötése:

$$a+2b\ne 0$$

Második példa

Feladat:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Az első lépésben kivonjuk a törteket a belső zárójelben:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Ezután felbontjuk a nevezőben lévő zárójelet. A figyelmesebb tanulók észrevehetik, hogy alkalmazhatjuk az a² − b² képletet:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Az első tört nevezőjében ugyanaz a kifejezés áll, mint a második tört számlálójában, és mivel ezeket a törteket szorozzuk, ezzel a kifejezéssel egyszerűsíthetünk:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Most egy kis nyers munkát kell végeznünk: felbontjuk a zárójeleket a számlálóban, összevonjuk őket, és végül egyszerűsítünk.

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

A kikötéseket a feladat alapján határozzuk meg. Összesen három tört van, egyik nevező sem lehet egyenlő nullával.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Harmadik példa

A következő törtkifejezés:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Először tehát megint unalmasan összeadjuk és kivonjuk a zárójelekben lévő kifejezéseket. Az első különbség egyszerű lesz, mert mindkét törtnek ugyanaz a nevezője.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

felbontjuk a zárójeleket, és összevonjuk a számlálókban lévő kifejezéseket:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Az első törtet b-vel egyszerűsítjük, a kettest pedig bővítjük a-val, hogy hozzáadhassuk az első törthöz:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Összeadjuk a törteket az első zárójelben, a második tört számlálójából pedig kiemeljük az a-t.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Most már egyszerűsíthetünk a-val:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Most már csak megszorozzuk a bal oldali kifejezést a törttel.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Az első zárójelből kiemelünk kettőt:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Most egyszerűsíthetünk az (1 + a) tényezővel (a nevezőben ugyanez a kifejezés áll, csak fordított sorrendben: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

És ez a végső egyszerűsített törtkifejezés, ezzel a kifejezéssel már nem lehet semmi értelmeset kezdeni. A kikötések:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Polinomok osztása

A törtkifejezéseket megoldhatod a polinom polinommal való osztásának algoritmusával is. Ez akkor lehet előnyös, ha nem használható semmilyen klasszikus eszköz a kifejezések átalakítására.