Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una fracción que tiene en el numerador y en el denominador algún polinomio. Normalmente intentamos simplificar una fracción algebraica y convertirla en una expresión más corta y más bonita.

Lo básico

Así que, una vez más, una fracción algebraica tiene la forma siguiente:

$$\frac{\text{polinomio}}{\text{polinomio}}$$

Un ejemplo de fracción algebraica puede ser la siguiente expresión:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

La tarea consiste en simplificar esta expresión. Al simplificar usamos los mismos procedimientos que cuando operamos con polinomios, así que, por ejemplo, sacaremos factor común y usaremos diversas fórmulas útiles. El capítulo siguiente resume las transformaciones más utilizadas.

Una fracción algebraica debería contener en el denominador alguna variable; por ejemplo, de la siguiente expresión no decimos que sea una fracción algebraica:

$$\frac{2x+3}{2}$$

En una fracción algebraica también se suelen determinar las condiciones de existencia, es decir, los valores para los que la fracción algebraica tiene sentido. En una fracción algebraica el denominador no puede ser igual a cero, porque, como sabemos, no se puede dividir entre cero.

Técnicas

Al transformar expresiones usamos muchas técnicas; intentaré resumir las más habituales. En primer lugar está la simplificación de fracciones. Así que, si en el numerador y en el denominador tenemos expresiones que solo se multiplican entre sí, podemos simplificar:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Aquí hemos simplificado la variable a. Si la fracción fuera así

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

no podríamos simplificar. El numerador es una suma, así que no está permitido simplificar. A menudo ocurre que el denominador o el numerador de una fracción tiene forma de suma, pero en la expresión podemos sacar factor común y después ya sí podemos simplificar. Por ejemplo, en la fracción

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

el numerador tiene forma de suma, pero podemos sacar factor común a y a continuación simplificar

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Otra transformación frecuente es descomponer algo según una fórmula. Arriba teníamos la fracción algebraica

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Si aplicamos al numerador la fórmula

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

obtenemos una nueva fracción algebraica

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

y aquí ya podemos simplificar todo el paréntesis (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Después, naturalmente, están la suma y la multiplicación de polinomios, las transformaciones de potencias, la suma de fracciones, etc.

Primer ejemplo

Enunciado del ejemplo:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vemos que en el numerador y en el denominador podemos sacar factor común el dos, que luego podemos simplificar:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

En el numerador todavía podemos sacar factor común el tres:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Podemos simplificar toda la expresión a + 2b y solo nos queda el tres:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Condiciones de existencia de esta fracción algebraica:

$$a+2b\ne 0$$

Segundo ejemplo

Enunciado del ejemplo:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

En el primer paso restamos las fracciones del paréntesis interior:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

A continuación desarrollamos el paréntesis del denominador. Los alumnos más atentos pueden darse cuenta de que podemos aplicar la fórmula a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

En el denominador de la primera fracción tenemos la misma expresión que en el numerador de la segunda y, como estas fracciones se multiplican, podemos simplificar por esa expresión:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Ahora toca hacer un poco de trabajo duro: desarrollar y sumar los paréntesis del numerador y, por último, simplificar sin más:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Las condiciones de existencia las determinamos a partir del enunciado. Hay en total tres fracciones y ninguno de los denominadores puede ser igual a cero.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Tercer ejemplo

Enunciado de otra fracción algebraica:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Así que, como primer paso, toca otra vez la parte aburrida: sumar y restar las expresiones de los paréntesis. La primera resta será sencilla, porque las dos fracciones tienen el mismo denominador.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

desarrollamos y sumamos las expresiones de los numeradores:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

En la primera fracción simplificamos la variable b y multiplicamos y dividimos el dos por a para poder sumarlo a la primera fracción:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Sumamos las fracciones del primer paréntesis y en la segunda fracción sacamos factor común a en el numerador.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Ahora ya podemos simplificar a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Ahora solo multiplicamos la expresión de la izquierda por la fracción.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Del primer paréntesis sacamos factor común el dos:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Ahora podemos simplificar (1 + a) (en el denominador está la misma expresión, solo que al revés: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Y esta es la fracción algebraica simplificada final; con esta expresión ya no se puede hacer nada razonable. Condiciones de existencia:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

División de polinomios

Las fracciones algebraicas también se pueden resolver con el algoritmo de la división de un polinomio entre otro polinomio. Puede ser ventajoso cuando no se puede usar ningún procedimiento clásico de transformación de expresiones.