Brøkuttrykk

Et brøkuttrykk er en brøk som har et polynom i både teller og nevner. Vi prøver vanligvis å forenkle et brøkuttrykk til et kortere og penere uttrykk.

Grunnleggende

Så en gang til: Et brøkuttrykk har følgende form:

$$\frac{\text{polynom}}{\text{polynom}}$$

Et eksempel på et brøkuttrykk er følgende uttrykk:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Oppgaven er da å forenkle dette uttrykket. Ved forenkling bruker vi de samme framgangsmåtene som når vi omformer polynomer, så vi bruker for eksempel det å sette utenfor parentes og ulike nyttige formler. Neste avsnitt oppsummerer de mest brukte omformingene.

Et brøkuttrykk bør ha en variabel i nevneren. Om dette uttrykket sier vi for eksempel ikke at det er et brøkuttrykk:

$$\frac{2x+3}{2}$$

For et brøkuttrykk bestemmer vi vanligvis også forutsetningene for at brøkuttrykket gir mening. I et brøkuttrykk kan nemlig ikke nevneren være lik null, for som vi vet, kan vi ikke dele på null.

Teknikker

Når vi omformer uttrykk, bruker vi mange teknikker, og jeg prøver å skrive en oversikt over de vanlige. Først og fremst er det forkorting av brøker. Hvis vi har uttrykk i både teller og nevner som bare er multiplisert med hverandre, kan vi forkorte:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Her har vi forkortet variabelen a. Hvis brøken så slik ut

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

kan vi ikke forkorte. Telleren er en sum, så forkorting er ikke tillatt. Ofte er telleren eller nevneren i en brøk en sum, men vi kan sette noe utenfor parentes i uttrykket og så forkorte. For eksempel i brøken

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

har vi en teller som er en sum, men vi kan sette a utenfor parentes og deretter forkorte

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

En vanlig omforming er også å faktorisere noe etter en formel. Ovenfor hadde vi brøkuttrykket

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Hvis vi bruker formelen

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

på telleren, får vi et nytt brøkuttrykk

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

og her kan vi forkorte hele parentesen (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Så kommer selvsagt ulike former for addisjon og multiplikasjon av polynomer, omforming av potenser, addisjon av brøker osv.

Første eksempel

Oppgaven:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vi ser at vi kan sette to utenfor parentes i både teller og nevner, og så kan vi forkorte den:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

I telleren kan vi i tillegg sette tre utenfor parentes:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Hele uttrykket a + 2b kan vi forkorte, og da står det bare igjen en tre:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Forutsetninger for dette brøkuttrykket:

$$a+2b\ne 0$$

Andre eksempel

Oppgaven:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

I det første trinnet trekker vi brøkene fra hverandre i den indre parentesen:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Videre ganger vi ut parentesen i nevneren. Skarpe elever kan legge merke til at vi kan bruke formelen a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

I nevneren i den første brøken har vi det samme uttrykket som i telleren i den andre brøken, og siden vi multipliserer disse brøkene, kan vi forkorte med dette uttrykket:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Nå må vi gjøre litt grovarbeid: gange ut og legge sammen parentesene i telleren og til slutt bare forkorte:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Forutsetningene bestemmer vi ut fra oppgaven. Der er det tre brøker i alt, og ingen av nevnerne kan være lik null.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Tredje eksempel

Oppgaven med et nytt brøkuttrykk:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Først legger vi igjen, litt kjedelig, sammen og trekker fra uttrykkene i parentesene. Den første differansen blir enkel, fordi begge brøkene har samme nevner.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Vi ganger ut og legger sammen uttrykkene i tellerne:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

I den første brøken forkorter vi variabelen b og utvider tallet to med a, slik at vi kan legge det til den første brøken:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Vi legger sammen brøkene i den første parentesen og setter a utenfor parentes i telleren i den andre brøken.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Så, nå kan vi forkorte a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Nå multipliserer vi bare uttrykket til venstre med brøken.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Fra den første parentesen setter vi to utenfor:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nå kan vi forkorte (1 + a) (i nevneren står det samme uttrykket, bare omvendt: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Og dette er det endelige forenklede brøkuttrykket, mer fornuftig kan vi ikke gjøre med det. Forutsetninger:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Polynomdivisjon

Brøkuttrykk kan du også forenkle med algoritmen for polynomdivisjon. Det kan være en fordel når vi ikke kan bruke noen av de vanlige metodene for omforming av uttrykk.