Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est une fraction qui contient un polynôme au numérateur comme au dénominateur. On cherche en général à simplifier une fraction rationnelle pour obtenir une expression plus courte et plus jolie.

Bases

Voici donc, une fois encore, la forme d’une fraction rationnelle :

$$\frac{\text{polynôme}}{\text{polynôme}}$$

Un exemple de fraction rationnelle est l’expression suivante :

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Il s’agit alors de simplifier cette expression. Pour la simplifier, on utilise les mêmes procédés que pour la transformation des polynômes : par exemple la mise en facteur et diverses formules utiles. Le chapitre suivant résume les transformations les plus courantes.

Une fraction rationnelle doit contenir une variable au dénominateur ; par exemple, l’expression suivante n’est pas une fraction rationnelle :

$$\frac{2x+3}{2}$$

Pour une fraction rationnelle, on détermine en général les conditions d’existence, c’est-à-dire les valeurs interdites pour lesquelles elle n’a pas de sens. Le dénominateur ne doit en effet jamais être égal à zéro, car, comme nous le savons, on ne divise pas par zéro.

Techniques

Pour transformer des expressions, on utilise de nombreuses techniques ; essayons de résumer les plus courantes. Avant tout, il y a la simplification des fractions. Si le numérateur et le dénominateur contiennent des expressions que l’on multiplie seulement entre elles, on peut simplifier :

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Ici nous avons simplifié par la variable a. Si la fraction se présentait ainsi

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

on ne peut pas simplifier. Le numérateur est une somme, donc la simplification n’est pas permise. Il arrive souvent que le numérateur ou le dénominateur soit une somme, mais qu’on puisse mettre en facteur quelque chose dans l’expression, puis simplifier. Par exemple, dans la fraction

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

le numérateur est une somme, mais on peut mettre a en facteur, puis simplifier :

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Une transformation fréquente consiste aussi à décomposer une expression selon une formule. Plus haut, nous avions la fraction rationnelle

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Si l’on applique au numérateur la formule

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

on obtient une nouvelle fraction rationnelle

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

et l’on peut alors simplifier par toute la parenthèse (x + 1) :

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Et bien sûr, on utilise aussi les différentes additions et multiplications de polynômes, les transformations de puissances, l’addition de fractions, etc.

Premier exemple

Énoncé de l’exemple :

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

On voit qu’on peut mettre le deux en facteur au numérateur comme au dénominateur, puis le simplifier :

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Au numérateur, on peut encore mettre le trois en facteur :

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

On peut simplifier par toute l’expression a + 2b, il ne reste que le trois :

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Condition d’existence de cette fraction rationnelle :

$$a+2b\ne 0$$

Deuxième exemple

Énoncé de l’exemple :

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Dans une première étape, on soustrait les fractions de la parenthèse intérieure :

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

On développe ensuite le dénominateur. Les plus perspicaces remarqueront qu’on peut appliquer la formule a² − b² :

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Le dénominateur de la première fraction est la même expression que le numérateur de la seconde, et comme ces fractions sont multipliées, on peut simplifier par cette expression :

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Il reste maintenant un travail un peu laborieux : développer et additionner les parenthèses du numérateur, puis simplifier :

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Les conditions d’existence se déduisent de l’énoncé. Il y a au total trois fractions, dont aucun dénominateur ne doit être égal à zéro.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Troisième exemple

Énoncé d’un autre exemple de fraction rationnelle :

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Comme première étape, on additionne et soustrait simplement les expressions des parenthèses. La première différence est simple, car les deux fractions ont le même dénominateur.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

On développe et on additionne les expressions des numérateurs :

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Dans la première fraction, on simplifie par la variable b, et l’on écrit le deux sous la forme d’une fraction de dénominateur a pour pouvoir l’additionner à la première fraction :

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

On additionne les fractions de la première parenthèse, et dans la seconde fraction on met a en facteur au numérateur.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

On peut alors simplifier par a :

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Il ne reste plus qu’à multiplier l’expression de gauche par la fraction.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

De la première parenthèse on met le deux en facteur :

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

On peut maintenant simplifier par (1 + a) (le dénominateur contient la même expression, simplement écrite dans l’autre sens, a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

C’est l’expression finale simplifiée de la fraction rationnelle, avec laquelle on ne peut plus rien faire d’utile. Conditions d’existence :

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Division de polynômes

On peut aussi simplifier les fractions rationnelles à l’aide de l’algorithme de division de polynômes par un polynôme. Cela peut être avantageux lorsqu’aucun procédé classique de transformation ne s’applique.