多項式の因数分解

多項式は、いくつかの多項式の積に分解できます。これを「因数分解」といいます。次の多項式があるとします。

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

定数 n は多項式の次数、つまり多項式に現れる指数のうち、係数が0でないものの中でいちばん大きい指数です。たとえば、多項式 x³ − 4x² − 5x の次数は3です。ほかの指数はどれもそれより小さい（指数2と1）か、係数が0です。このとき、多項式の根 k が1つ見つかれば、次数が1つ低い別の多項式 Q_{n − 1}(x) があって、次の式が成り立ちます。

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

むずかしく聞こえますが、言っていることは単純です。多項式 P_n(x) の根がわかれば、(x − k) をかけるともとの多項式 P_n(x) になるような別の多項式 Q_{n − 1}(x) を見つけられます。しかも、多項式 Q_{n − 1}(x) の次数は多項式 P_n(x) より1つ低くなります。（高校では、このことを「因数定理」とよびます。）多項式 P₃(x) = x³ − 4x² − 5x を見ると、根の1つは k₁ = 0 です（多項式の x に0を代入すると、式全体が0になるからです）。したがって、次の式を満たす多項式 Q₂(x) があるはずです。

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

ここでは簡単です。x − 0 はもちろん x に等しいので、次の等式が得られます。

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

もとの多項式 P₃(x) から x をくくり出すだけで、新しい多項式 Q₂(x) が得られます。

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

これで多項式を1回、積の形に分解できました。もとの多項式 x³ − 4x² − 5x を、(x − 0) と、次数の低い多項式 x² − 4x − 5 の積に分解したことになります。さらに、この多項式 x² − 4x − 5 も分解できます。2次方程式

$$x^2-4x-5=0$$

を解くと、この方程式の解は k₂ = 5 と k₃ = −1 だとわかります。したがって、次の式を満たす多項式 Q₁(x) が見つかるはずです。

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

多項式 Q₁(x) を求めるのはそれほど簡単ではありませんが、たとえば多項式の割り算を使えば求められます。こうして Q₁(x) = x + 1 がわかるので、次のように書けます。

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

もとの多項式 P₃(x) 全体は次のようになります。

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

このように多項式全体を因数分解すると、根をひと目で読み取れます。積の中のどれか1つの式が0になれば、式全体が0になるからです。そのため、この式を見れば、多項式の根がちょうど k₁ = 0、k₂ = 5、k₃ = −1 であることがすぐにわかります。