Ρητές παραστάσεις

Ρητή παράσταση είναι ένα κλάσμα που έχει στον αριθμητή και στον παρονομαστή κάποιο πολυώνυμο. Συνήθως προσπαθούμε να απλοποιήσουμε μια ρητή παράσταση σε κάποια πιο σύντομη, πιο όμορφη παράσταση.

Βασικά

Λοιπόν, ξανά: η ρητή παράσταση έχει την ακόλουθη μορφή:

$$\frac{\text{πολυώνυμο}}{\text{πολυώνυμο}}$$

Παράδειγμα ρητής παράστασης μπορεί λοιπόν να είναι η ακόλουθη παράσταση:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Ο στόχος είναι να απλοποιήσουμε αυτήν την παράσταση. Κατά την απλοποίηση χρησιμοποιούμε τις ίδιες διαδικασίες όπως όταν επεξεργαζόμαστε πολυώνυμα, οπότε χρησιμοποιούμε για παράδειγμα τον κοινό παράγοντα και διάφορες χρήσιμες ταυτότητες. Η επόμενη ενότητα συνοψίζει τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους μετασχηματισμούς.

Μια ρητή παράσταση πρέπει να περιέχει στον παρονομαστή κάποια μεταβλητή, για παράδειγμα γι' αυτήν εδώ δεν λέμε ότι είναι ρητή παράσταση:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Στη ρητή παράσταση συνήθως προσδιορίζουμε και τους περιορισμούς, υπό τους οποίους έχει νόημα η ρητή παράσταση. Στη ρητή παράσταση ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται να είναι ίσος με μηδέν, επειδή, όπως ξέρουμε, δεν διαιρούμε με το μηδέν.

Τεχνικές

Κατά τον μετασχηματισμό παραστάσεων χρησιμοποιούμε πολλές τεχνικές, θα προσπαθήσω να γράψω μια σύνοψη των συνηθισμένων. Πρώτα απ' όλα είναι η απλοποίηση κλασμάτων. Αν λοιπόν στον αριθμητή και στον παρονομαστή έχουμε παραστάσεις που απλώς πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, μπορούμε να απλοποιήσουμε:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Εδώ απλοποιήσαμε τη μεταβλητή a. Αν το κλάσμα έμοιαζε έτσι

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

τότε δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε. Ο αριθμητής είναι άθροισμα, οπότε η απλοποίηση δεν επιτρέπεται. Συχνά συμβαίνει ο παρονομαστής ή ο αριθμητής του κλάσματος να έχει μορφή αθροίσματος, αλλά στη συγκεκριμένη παράσταση να μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα και μετά να απλοποιήσουμε. Για παράδειγμα στο κλάσμα

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

ο αριθμητής έχει μορφή αθροίσματος, αλλά μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα το a και στη συνέχεια να απλοποιήσουμε

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Συχνός μετασχηματισμός είναι και η ανάλυση κάποιου όρου με βάση κάποια ταυτότητα. Παραπάνω είχαμε τη ρητή παράσταση

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Αν εφαρμόσουμε στον αριθμητή την ταυτότητα

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

τότε παίρνουμε νέα ρητή παράσταση

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

και εδώ μπορούμε πια να απλοποιήσουμε ολόκληρη την παρένθεση (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Έπειτα φυσικά διάφορες προσθέσεις και πολλαπλασιασμοί πολυωνύμων, πράξεις με δυνάμεις, προσθέσεις κλασμάτων κ.λπ.

Πρώτο παράδειγμα

Εκφώνηση του παραδείγματος:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Βλέπουμε ότι στον αριθμητή και στον παρονομαστή μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα το δύο, το οποίο μετά μπορούμε να απλοποιήσουμε:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Στον αριθμητή μπορούμε ακόμη να βγάλουμε κοινό παράγοντα το τρία:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Ολόκληρη την παράσταση a + 2b μπορούμε να την απλοποιήσουμε και θα μας μείνει μόνο το τρία:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Περιορισμοί αυτής της ρητής παράστασης:

$$a+2b\ne 0$$

Δεύτερο παράδειγμα

Εκφώνηση του παραδείγματος:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Στο πρώτο βήμα αφαιρούμε τα κλάσματα στην εσωτερική παρένθεση:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Στη συνέχεια κάνουμε επιμερισμό στην παρένθεση του παρονομαστή. Οι πιο παρατηρητικοί μαθητές μπορεί να προσέξουν ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε την ταυτότητα a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Στον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος έχουμε την ίδια παράσταση όπως στον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και, επειδή αυτά τα κλάσματα τα πολλαπλασιάζουμε, μπορούμε να απλοποιήσουμε με αυτήν την παράσταση:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Τώρα πρέπει να κάνουμε λίγη χειρωνακτική δουλειά: να κάνουμε επιμερισμό, να προσθέσουμε τους όρους στον αριθμητή και στο τέλος απλώς να απλοποιήσουμε:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Τους περιορισμούς τους προσδιορίζουμε από την εκφώνηση. Εκεί υπάρχουν συνολικά τρία κλάσματα, κανένας από τους παρονομαστές δεν επιτρέπεται να είναι ίσος με μηδέν.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Τρίτο παράδειγμα

Εκφώνηση της επόμενης ρητής παράστασης:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Λοιπόν, πρώτα πάλι βαρετά προσθέτουμε και αφαιρούμε τις παραστάσεις στις παρενθέσεις. Η πρώτη διαφορά θα είναι απλή, επειδή και τα δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

κάνουμε επιμερισμό και προσθέτουμε τους όρους στους αριθμητές:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Στο πρώτο κλάσμα απλοποιούμε τη μεταβλητή b και μετατρέπουμε το δύο σε κλάσμα με παρονομαστή a, για να μπορέσουμε να το προσθέσουμε στο πρώτο κλάσμα:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Προσθέτουμε τα κλάσματα στην πρώτη παρένθεση και στο δεύτερο κλάσμα βγάζουμε στον αριθμητή κοινό παράγοντα το a.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Έτσι, τώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε το a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Τώρα απλώς πολλαπλασιάζουμε την παράσταση αριστερά με το κλάσμα.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Από την πρώτη παρένθεση βγάζουμε κοινό παράγοντα το δύο:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Τώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε το (1 + a) (στον παρονομαστή υπάρχει η ίδια παράσταση, απλώς με αντίστροφη σειρά a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Και αυτή είναι η τελική απλοποιημένη ρητή παράσταση, με αυτήν την παράσταση δεν μπορούμε πια να κάνουμε τίποτα που να έχει νόημα. Περιορισμοί:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Διαίρεση πολυωνύμων

Τις ρητές παραστάσεις μπορείς επίσης να τις χειριστείς με τον αλγόριθμο της διαίρεσης πολυωνύμου με πολυώνυμο. Μπορεί να είναι χρήσιμο όταν δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί κάποιο κλασικό μέσο για τον μετασχηματισμό παραστάσεων.