Brøkudtryk

Et brøkudtryk er en brøk, som har et polynomium i både tæller og nævner. Et brøkudtryk prøver vi typisk at forenkle til et kortere og pænere udtryk.

Grundlæggende sammenhænge

Så en gang til: Et brøkudtryk har følgende form:

$$\frac{\text{polynomium}}{\text{polynomium}}$$

Et eksempel på et brøkudtryk kan være følgende udtryk:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Opgaven er så at forenkle dette udtryk. Når vi forenkler, bruger vi de samme fremgangsmåder som ved omskrivning af polynomier, så vi sætter for eksempel uden for parentes og bruger forskellige nyttige formler. Det næste afsnit sammenfatter de mest brugte omskrivninger.

Et brøkudtryk bør have en variabel i nævneren. Om det følgende udtryk siger vi for eksempel ikke, at det er et brøkudtryk:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Ved et brøkudtryk bestemmer vi som regel også de forudsætninger, under hvilke brøkudtrykket giver mening. Nævneren må nemlig ikke være lig med nul, for som vi ved, kan man ikke dividere med nul.

Teknikker

Når vi omskriver udtryk, bruger vi mange teknikker, og jeg vil prøve at skrive et overblik over de almindelige. Først og fremmest er der forkortning af brøker. Hvis vi har udtryk i tæller og nævner, som kun er ganget sammen, kan vi forkorte:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Her har vi forkortet variablen a. Hvis brøken så sådan ud

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

kan vi ikke forkorte. Tælleren er en sum, så forkortning er ikke tilladt. Det sker ofte, at nævneren eller tælleren i en brøk er en sum, men at vi i udtrykket kan sætte noget uden for parentes, og så kan vi forkorte alligevel. I brøken

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

er tælleren for eksempel en sum, men vi kan sætte a uden for parentes og derefter forkorte

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

En almindelig omskrivning er også at opløse noget efter en formel. Ovenfor havde vi brøkudtrykket

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Hvis vi anvender formlen

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

på tælleren, får vi et nyt brøkudtryk

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

og her kan vi allerede forkorte hele parentesen (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Så er der selvfølgelig forskellige additioner og multiplikationer af polynomier, omskrivning af potenser, addition af brøker osv.

Første eksempel

Opgaven:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vi kan se, at vi kan sætte totallet uden for parentes i både tæller og nævner, og det kan vi derefter forkorte:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

I tælleren kan vi desuden sætte tretallet uden for parentes:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Hele udtrykket a + 2b kan vi forkorte, og kun tretallet bliver tilbage:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Forudsætninger for dette brøkudtryk:

$$a+2b\ne 0$$

Andet eksempel

Opgaven:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

I første trin trækker vi brøkerne fra hinanden i den indre parentes:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Derefter ganger vi parentesen i nævneren ud. De skarpeste elever kan lægge mærke til, at vi kan anvende formlen a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

I nævneren i den første brøk har vi det samme udtryk som i tælleren i den anden brøk, og da vi ganger disse brøker, kan vi forkorte med dette udtryk:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Nu må vi tage fat på lidt grovarbejde, gange parenteserne i tælleren ud, lægge dem sammen og til sidst blot forkorte:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Forudsætningerne bestemmer vi ud fra opgaveteksten. Der er i alt tre brøker, og ingen af nævnerne må være lig med nul.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Tredje eksempel

Opgaven med det næste brøkudtryk:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Først lægger vi igen kedeligt nok udtrykkene i parenteserne sammen eller trækker dem fra hinanden. Den første differens bliver nem, fordi begge brøker har samme nævner.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Vi ganger ud og lægger udtrykkene i tællerne sammen:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

I den første brøk forkorter vi variablen b og forlænger totallet med a, så vi kan lægge det til den første brøk:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Vi lægger brøkerne i den første parentes sammen og sætter a uden for parentes i tælleren i den anden brøk.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nu kan vi forkorte a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Nu ganger vi bare udtrykket til venstre med brøken.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

I den første parentes sætter vi totallet uden for parentes:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nu kan vi forkorte (1 + a) (i nævneren er det samme udtryk, bare omvendt a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Og det er det endelige forenklede brøkudtryk. Med dette udtryk kan vi ikke gøre noget fornuftigt mere. Forudsætninger:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Division af polynomier

Brøkudtryk kan du også løse ved hjælp af algoritmen for division af et polynomium med et polynomium. Det kan være en fordel, når man ikke kan bruge nogen af de klassiske midler til omskrivning af udtryk.