Rationella uttryck

Ett rationellt uttryck är ett bråk som har något polynom i både täljaren och nämnaren. Ett rationellt uttryck försöker vi vanligtvis förenkla till ett kortare, snyggare uttryck.

Grunderna

Alltså, ännu en gång, ett rationellt uttryck har följande form:

$$\frac{\text{polynom}}{\text{polynom}}$$

Ett exempel på ett rationellt uttryck är följande uttryck:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Uppgiften är sedan att förenkla det här uttrycket. När vi förenklar använder vi samma tillvägagångssätt som när vi förenklar polynom, så vi använder till exempel utbrytning och olika användbara formler. Nästa avsnitt sammanfattar de vanligaste omformningarna.

Ett rationellt uttryck bör ha någon variabel i nämnaren, om det här uttrycket säger vi till exempel inte att det är ett rationellt uttryck:

$$\frac{2x+3}{2}$$

För ett rationellt uttryck bestämmer vi också vanligtvis villkoren under vilka det rationella uttrycket är meningsfullt. För ett rationellt uttryck gäller nämligen att nämnaren inte får vara lika med noll, eftersom man som vi vet inte dividerar med noll.

Tekniker

När vi förenklar uttryck använder vi många tekniker, jag försöker skriva ihop en sammanfattning av de vanliga. Först och främst är det förkortning av bråk. Om vi alltså har uttryck i täljaren och nämnaren som bara multipliceras med varandra kan vi förkorta:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Här har vi förkortat bort variabeln a. Om bråket såg ut så här

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

kan vi inte förkorta. Täljaren är en summa, så förkortning är inte tillåten. Det händer ofta att nämnaren eller täljaren i ett bråk är en summa, men att vi i uttrycket kan bryta ut något och därefter kan förkorta. Till exempel i bråket

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

har vi en täljare som är en summa, men vi kan bryta ut a och sedan förkorta

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

En vanlig omformning är också att faktorisera något med hjälp av någon formel. Ovan hade vi det rationella uttrycket

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Om vi använder formeln

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

på täljaren får vi ett nytt rationellt uttryck

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

och här kan vi redan förkorta bort hela parentesen (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Dessutom förstås addition och multiplikation av polynom, förenkling av potenser, addition av bråk och så vidare.

Första exemplet

Uppgiften:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Vi ser att vi i både täljaren och nämnaren kan bryta ut tvåan, som vi sedan kan förkorta bort:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

I täljaren kan vi dessutom bryta ut trean:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Hela uttrycket a + 2b kan vi förkorta bort, och kvar blir bara trean:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Villkor för det här rationella uttrycket:

$$a+2b\ne 0$$

Andra exemplet

Uppgiften:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

I det första steget subtraherar vi bråken i den inre parentesen:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Därefter multiplicerar vi ut parentesen i nämnaren. De mer uppmärksamma eleverna kanske märker att vi kan använda formeln a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

I nämnaren i det första bråket har vi samma uttryck som i täljaren i det andra bråket, och eftersom vi multiplicerar de här bråken kan vi förkorta med det här uttrycket:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Nu måste vi göra lite grovjobb: multiplicera ut och addera parenteserna i täljaren och till sist helt enkelt förkorta:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Villkoren bestämmer vi enligt uppgiften. Där finns sammanlagt tre bråk, och ingen av nämnarna får vara lika med noll.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Tredje exemplet

Uppgiften för nästa rationella uttryck:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Först gör vi återigen det tråkiga: vi adderar och subtraherar uttrycken i parenteserna. Den första differensen blir enkel, eftersom båda bråken har samma nämnare.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Vi multiplicerar ut och adderar uttrycken i täljarna:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

I det första bråket förkortar vi bort variabeln b och förlänger tvåan med a för att kunna addera den till det första bråket:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Vi adderar bråken i den första parentesen och i det andra bråket bryter vi ut a i täljaren.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Så, nu kan vi förkorta bort a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Nu multiplicerar vi bara uttrycket till vänster med bråket.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Ur den första parentesen bryter vi ut tvåan:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nu kan vi förkorta bort (1 + a) (i nämnaren finns samma uttryck, bara omvänt: a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Och det är det slutgiltiga förenklade rationella uttrycket, med det här uttrycket går det inte att göra något vettigt mer. Villkor:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Polynomdivision

Rationella uttryck kan du också förenkla med algoritmen för division av polynom med polynom. Det kan vara fördelaktigt när man inte kan använda något klassiskt hjälpmedel för förenkling av uttryck.