Rationaalilausekkeet

Rationaalilauseke on murtoluvun muotoinen lauseke, jonka osoittajassa ja nimittäjässä on polynomi. Rationaalilauseke yleensä pyritään sieventämään lyhyemmäksi ja kauniimmaksi lausekkeeksi.

Perusteet

Siis vielä kerran: rationaalilausekkeella on seuraava muoto:

$$\frac{\text{polynomi}}{\text{polynomi}}$$

Esimerkki rationaalilausekkeesta on seuraava lauseke:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Tehtävänä on sitten sieventää tämä lauseke. Sievennettäessä käytetään samoja menetelmiä kuin polynomeja muokattaessa, eli käytämme esimerkiksi yhteisen tekijän erottamista ja erilaisia hyödyllisiä kaavoja. Seuraavassa luvussa on yhteenveto yleisimmistä muunnoksista.

Rationaalilausekkeen nimittäjässä pitäisi olla jokin muuttuja. Esimerkiksi tästä ei sanota, että se on rationaalilauseke:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Rationaalilausekkeesta määritetään yleensä myös ehdot, joilla rationaalilauseke on määritelty. Rationaalilausekkeessa nimittäjä ei nimittäin saa olla nolla, koska kuten tiedämme, nollalla ei jaeta.

Menetelmät

Lausekkeita muokatessa käytetään monia menetelmiä, yritän koota yhteenvedon yleisistä. Ensimmäisenä on murtolukujen supistaminen. Jos siis osoittajassa ja nimittäjässä on lausekkeita, jotka vain kerrotaan keskenään, voimme supistaa:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Tässä supistimme muuttujan a. Jos murtoluku näyttäisi tältä

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

emme voi supistaa. Osoittaja on summa, joten supistaminen ei ole sallittua. Usein käy niin, että vaikka murtoluvun nimittäjä tai osoittaja on summan muodossa, lausekkeesta voi erottaa jotakin yhteistä, ja sen jälkeen voi supistaa. Esimerkiksi murtoluvussa

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

osoittaja on summan muodossa, mutta voimme erottaa a:n ja sen jälkeen supistaa

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Usein tehtävä muunnos on myös jonkin lausekkeen jakaminen tekijöihin jollakin kaavalla. Yllä meillä oli rationaalilauseke

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Jos sovellamme osoittajaan kaavaa

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

saamme uuden rationaalilausekkeen

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

ja tässä voimme jo supistaa koko sulun (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Lisäksi tulevat tietenkin erilaiset polynomien yhteen- ja kertolaskut, potenssien muokkaukset, murtolukujen yhteenlasku jne.

Ensimmäinen esimerkki

Tehtävänanto:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Näemme, että osoittajasta ja nimittäjästä voi erottaa kakkosen, jonka voi sitten supistaa:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Osoittajasta voi vielä erottaa kolmosen:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Koko lausekkeen a + 2b voi supistaa, ja jäljelle jää vain kolmonen:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Tämän rationaalilausekkeen ehdot:

$$a+2b\ne 0$$

Toinen esimerkki

Tehtävänanto:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Ensimmäisessä vaiheessa vähennämme murtoluvut sisemmässä sulussa:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Seuraavaksi kerromme nimittäjän sulut auki. Tarkkasilmäisemmät oppilaat huomaavat, että voimme soveltaa kaavaa a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Ensimmäisen murtoluvun nimittäjässä on sama lauseke kuin toisen murtoluvun osoittajassa, ja koska kerromme nämä murtoluvut keskenään, voimme supistaa tällä lausekkeella:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Nyt on tehtävä vähän raakaa työtä: kerrotaan sulut auki ja lasketaan ne yhteen osoittajassa ja lopuksi supistetaan yksinkertaisesti:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Ehdot määritetään tehtävänannosta. Siinä on yhteensä kolme murtolukua, eikä yksikään nimittäjistä saa olla nolla.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Kolmas esimerkki

Seuraavan rationaalilausekkeen tehtävänanto:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Eli ensin laskemme jälleen tylsästi yhteen ja vähennämme sulkujen lausekkeet. Ensimmäinen erotus on helppo, koska molemmilla murtoluvuilla on sama nimittäjä.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

kerrotaan auki ja lasketaan yhteen osoittajien lausekkeet:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Ensimmäisessä murtoluvussa supistetaan muuttuja b ja lavennetaan kakkonen luvulla a, jotta sen voi lisätä ensimmäiseen murtolukuun:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Lasketaan yhteen ensimmäisen sulun murtoluvut ja erotetaan toisen murtoluvun osoittajasta a.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nyt voimme supistaa a:n:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Nyt vain kerrotaan vasemmalla oleva lauseke murtoluvulla.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Ensimmäisestä sulusta erotetaan kakkonen:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Nyt voimme supistaa lausekkeen (1 + a) (nimittäjässä on sama lauseke, vain toisin päin a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Ja tämä on lopullinen sievennetty rationaalilauseke, tällä lausekkeella ei voi enää tehdä mitään järkevää. Ehdot:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Polynomien jakolasku

Rationaalilausekkeita voi sieventää myös polynomien jakolaskun polynomilla algoritmilla. Se voi olla hyödyllistä silloin, kun lausekkeiden muokkaamiseen ei voi käyttää jotakin tavallista keinoa.