Teoremi di Euclide

L’antico matematico alessandrino Euclide formulò due teoremi sui triangoli, che riguardano in particolare l’altezza e il cateto.

Teorema dell’altezza (secondo teorema di Euclide)

Questo teorema vale solo in un triangolo rettangolo. Guardiamo la situazione di partenza:

Abbiamo il triangolo ABC, il lato c è l’ipotenusa e il segmento h_c è l’altezza relativa al lato c. Il punto P_c divide il lato c in due segmenti: il segmento AP_c lo indichiamo con c_b e il segmento BP_c lo indichiamo con c_a.

Il teorema dell’altezza afferma allora che vale la relazione

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

dove h_c indica la lunghezza del segmento h_c e così via. In altre parole: se costruissimo un quadrato di lato h_c e un rettangolo di lati c_a e c_b, queste figure avrebbero la stessa area. Osserva la figura seguente, in cui sono evidenziati proprio questo quadrato e questo rettangolo:

Il teorema dell’altezza dice che queste figure hanno la stessa area. Il quadrato rosso ha il lato h_c, il rettangolo verde ha un lato uguale a c_a e l’altro lato uguale a c_b.

La dimostrazione del teorema dell’altezza puoi leggerla su Wikipedia.

Teorema del cateto (primo teorema di Euclide)

Anche questo teorema vale in un triangolo rettangolo. Torniamo alla prima figura del triangolo:

Il teorema afferma che

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Se costruiamo un quadrato di lato a, questo quadrato avrà la stessa area di un rettangolo di lati c e c_a. Anche qui puoi osservare il quadrato e il rettangolo:

La dimostrazione puoi trovarla di nuovo su Wikipedia.