Kathetensatz und Höhensatz

Der antike Mathematiker Euklid von Alexandria hat zwei Sätze über Dreiecke aufgestellt, und zwar über die Höhe und über die Kathete.

Höhensatz des Euklid

Dieser Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Sehen wir uns die Ausgangssituation an:

Wir haben hier das Dreieck ABC, die Seite c ist die Hypotenuse, die Strecke h_c ist die Höhe zur Seite c. Der Punkt P_c teilt die Seite c in zwei Strecken: Die Strecke AP_c bezeichnen wir mit c_b und die Strecke BP_c mit c_a.

Der Höhensatz des Euklid besagt dann, dass die folgende Beziehung gilt:

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

wobei h_c die Länge der Strecke h_c bezeichnet usw. Mit anderen Worten: Wenn wir ein Quadrat mit der Seitenlänge h_c und ein Rechteck mit den Seitenlängen c_a und c_b bilden, dann haben diese Figuren denselben Flächeninhalt. Sieh dir das folgende Bild an, in dem genau so ein Quadrat und ein Rechteck hervorgehoben sind:

Der Höhensatz des Euklid besagt, dass diese Figuren denselben Flächeninhalt haben. Das rote Quadrat hat die Seitenlänge h_c, das grüne Rechteck hat eine Seitenlänge gleich c_a, und die Länge der anderen Seite ist gleich c_b.

Den Beweis des Höhensatzes kannst du in der Wikipedia nachlesen.

Kathetensatz des Euklid

Auch dieser zweite Satz des Euklid gilt im rechtwinkligen Dreieck. Wir bleiben beim ersten Bild des Dreiecks:

Der zweite Satz besagt:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Wenn wir ein Quadrat mit der Seitenlänge a konstruieren, dann hat dieses Quadrat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den Seitenlängen c und c_a. Auch hier kannst du dir das Quadrat und das Rechteck ansehen:

Den Beweis findest du ebenfalls in der Wikipedia.