Euklides satser

Den gamle matematikern Euklides från Alexandria formulerade två satser om trianglar, närmare bestämt om höjden och om kateterna.

Euklides höjdsats

Den här satsen gäller bara i en rätvinklig triangel. Vi tittar på den grundläggande situationen:

Här har vi triangeln ABC, sidan c är hypotenusan och sträckan h_c är höjden mot sidan c. Punkten P_c delar sidan c i två sträckor: sträckan AP_c betecknar vi c_b och sträckan BP_c betecknar vi c_a.

Euklides höjdsats säger att det gäller sambandet

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

där h_c betecknar längden av sträckan h_c och så vidare. Med andra ord: om vi konstruerar en kvadrat med sidan h_c och en rektangel med sidorna c_a och c_b, så har de här figurerna samma area. Titta på följande figur, där just en sådan kvadrat och rektangel är markerade:

Euklides höjdsats säger att de här figurerna har samma area. Den röda kvadraten har sidan h_c, den gröna rektangeln har den ena sidan lika med c_a och den andra sidan lika med c_b.

Beviset för Euklides höjdsats kan du läsa på Wikipedia.

Euklides katetersats

Även Euklides andra sats gäller i en rätvinklig triangel. Vi håller oss till den första figuren av triangeln:

Den andra satsen säger att

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Om vi konstruerar en kvadrat med sidan a har den här kvadraten samma area som en rektangel med sidorna c och c_a. Du kan återigen titta på kvadraten och rektangeln:

Beviset hittar du återigen på Wikipedia.