Öklid Teoremleri

Antik çağda İskenderiye’de yaşamış matematikçi Öklid, üçgenlerle ilgili iki teorem ortaya koymuştur (Türkiye’de genellikle “Öklid bağıntıları” olarak bilinir). Bu teoremler yükseklik ve dik kenarla ilgilidir.

Öklid’in Yükseklik Teoremi

Bu teorem yalnızca dik üçgende geçerlidir. Temel duruma bakalım:

Burada ABC üçgeni var; c kenarı hipotenüstür, h_c doğru parçası c kenarına ait yüksekliktir. P_c noktası c kenarını iki doğru parçasına ayırır: AP_c doğru parçasını c_b, BP_c doğru parçasını c_a ile gösterelim.

Öklid’in yükseklik teoremine göre şu bağıntı sağlanır:

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

burada h_c, h_c doğru parçasının uzunluğunu gösterir; diğer harfler de aynı şekilde. Başka bir deyişle: kenar uzunluğu h_c olan bir kare ile kenar uzunlukları c_a ve c_b olan bir dikdörtgen çizersek, bu iki şeklin alanı eşit olur. Tam böyle bir kare ve dikdörtgenin vurgulandığı şu şekle bak:

Öklid’in yükseklik teoremi, bu şekillerin alanlarının eşit olduğunu söyler. Kırmızı karenin kenar uzunluğu h_c’dir, yeşil dikdörtgenin bir kenarı c_a, diğer kenarı c_b uzunluğundadır.

Öklid’in yükseklik teoreminin ispatını bu arama sonuçlarında bulabilirsin.

Öklid’in Dik Kenar Teoremi

Öklid’in bu ikinci teoremi de dik üçgende geçerlidir. İlk üçgen şeklinde kalalım:

İkinci teorem şunu söyler:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Kenar uzunluğu a olan bir kare çizersek, bu karenin alanı kenar uzunlukları c ve c_a olan dikdörtgenin alanına eşit olur. Kareye ve dikdörtgene yine şekilden bakabilirsin:

İspatı yine bu arama sonuçlarında bulabilirsin.