Befogótétel és magasságtétel

Az ókori alexandriai matematikus, Eukleidész két tételt fogalmazott meg a háromszögekről, ezek konkrétan a magasságra és a befogóra vonatkoznak.

Magasságtétel

Ez a tétel csak derékszögű háromszögben működik. Nézzük meg az alapfeladatot:

Adott az ABC háromszög, a c oldal az átfogó, az m_c szakasz a c oldalhoz tartozó magasság. A P_c pont két szakaszra osztja a c oldalt: az AP_c szakaszt jelöljük c_b-vel, a BP_c szakaszt pedig c_a-val.

A magasságtétel szerint fennáll az összefüggés

$$m_c^2=c_a\cdot c_b,$$

ahol m_c az m_c szakasz hosszát jelöli, és így tovább. Másképp fogalmazva: ha megszerkesztenénk egy m_c oldalú négyzetet és egy c_a és c_b oldalú téglalapot, akkor ezeknek az alakzatoknak a területe megegyezne. Nézd meg a következő ábrát, amelyen éppen egy ilyen négyzet és téglalap van kiemelve:

A magasságtétel azt mondja ki, hogy ezeknek az alakzatoknak ugyanakkora a területük. A piros négyzet oldalának hossza m_c, a zöld téglalap egyik oldala c_a, a másik oldalának hossza pedig c_b.

A magasságtétel bizonyítását elolvashatod a Wikipédián.

Befogótétel

Ez a második tétel is derékszögű háromszögben érvényes. Maradunk az első háromszög-ábránál:

A második tétel azt állítja, hogy

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Ha megszerkesztünk egy a oldalú négyzetet, akkor ennek a négyzetnek ugyanakkora a területe, mint annak a téglalapnak, amelynek oldalai c és c_a. A négyzetet és a téglalapot ismét megnézheted:

A bizonyítást ismét megtalálod a Wikipédián.