Euklids sætninger

Den gamle alexandrinske matematiker Euklid opstillede to sætninger om trekanter, nærmere bestemt om højden og om kateten.

Euklids højdesætning

Denne sætning gælder kun i en retvinklet trekant. Vi ser på den grundlæggende opstilling:

Vi har her trekanten ABC, siden c er hypotenusen, linjestykket h_c er højden på siden c. Punktet P_c deler siden c i to linjestykker: linjestykket AP_c betegner vi c_b, og linjestykket BP_c betegner vi c_a.

Euklids højdesætning siger så, at der gælder sammenhængen

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

hvor h_c betegner længden af linjestykket h_c osv. Med andre ord: hvis vi konstruerede et kvadrat med sidelængden h_c og et rektangel med sidelængderne c_a og c_b, ville disse figurer have det samme areal. Se på den følgende figur, hvor netop sådan et kvadrat og rektangel er fremhævet:

Euklids højdesætning siger, at disse figurer har det samme areal. Det røde kvadrat har sidelængden h_c, det grønne rektangel har den ene side lig med c_a, og længden af den anden side er lig med c_b.

Euklids katetesætning

Også denne anden sætning af Euklid gælder i den retvinklede trekant. Vi bliver ved den første figur af trekanten:

Den anden sætning påstår så, at

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Hvis vi konstruerer et kvadrat med sidelængden a, vil dette kvadrat have samme areal som et rektangel med sidelængderne c og c_a. Igen kan du se på kvadratet og rektanglet: