Eukleideen lauseet

Vanha aleksandrialainen matemaatikko Eukleides laati kaksi kolmioihin liittyvää lausetta, tarkemmin ne koskevat korkeusjanaa ja kateettia.

Korkeuslause

Tämä lause toimii vain suorakulmaisessa kolmiossa. Katsotaan perusasetelmaa:

Meillä on kolmio ABC, sivu c on hypotenuusa, jana h_c on sivulle c piirretty korkeusjana. Piste P_c jakaa sivun c kahteen janaan: merkitään janaa AP_c symbolilla c_b ja janaa BP_c symbolilla c_a.

Korkeuslause sanoo, että pätee yhteys

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

missä h_c tarkoittaa janan h_c pituutta ja niin edelleen. Toisin sanoen: jos muodostaisimme neliön, jonka sivun pituus on h_c, ja suorakulmion, jonka sivujen pituudet ovat c_a ja c_b, näiden kuvioiden pinta-ala olisi sama. Katso seuraavaa kuvaa, johon on korostettu juuri tällainen neliö ja suorakulmio:

Korkeuslause sanoo, että näillä kuvioilla on sama pinta-ala. Punaisen neliön sivun pituus on h_c, vihreän suorakulmion yhden sivun pituus on c_a ja toisen sivun pituus on c_b.

Kateettilause

Myös tämä toinen Eukleideen lause pätee suorakulmaisessa kolmiossa. Pysytään ensimmäisessä kolmiokuvassa:

Toinen lause väittää, että

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Jos piirrämme neliön, jonka sivun pituus on a, tämän neliön pinta-ala on sama kuin suorakulmion, jonka sivujen pituudet ovat c ja c_a. Neliön ja suorakulmion voit taas katsoa kuvasta: