三角形

三角形は、3つの頂点を3本の線分で結んでできる図形です。

三角形とは

次の図を見てみましょう。 図の三角形は、頂点 A、B、C でできているので、三角形 ABC です。辺は AB、BC、AC の3つです。これらの辺には、さらに小文字の名前もついていることに注目しましょう。この名前のつけ方にはきまりがあります。頂点 A の向かいにある辺が a、頂点 B の向かいにある辺が b、頂点 C の向かいにある辺が c です。つまり、各頂点の向かいにある辺（その頂点を端にもたない辺）に、その頂点の名前をつけます。

どの三角形にも3つの内角があり、ふつうはギリシャ文字のアルファ α、ベータ β、ガンマ γ で表します。3つの内角の和は、いつも180°になります。

三角形には対角線はありませんが、中線と高さがあります。

三角不等式

三角不等式は、三角形で成り立つ大切な関係です。どの2辺の長さの和も、残りの1辺の長さよりいつも大きくなります。式で書くと、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}|a|+|b|& >& |c|\\ |a|+|c|& >& |b|\\ |b|+|c|& >& |a|\end{array}$$

この不等式が成り立たないと、どうなるでしょうか。つまり、1つの辺が残りの2辺の和より長かったらどうなるでしょうか。三角形はできません。2つの辺が短すぎて、「たがいに届かない」からです。

等号が成り立つとき、つまり2辺の長さの和が残りの1辺の長さと等しいときは、三角形をかこうとしても、すべての点が1つの直線上にならんでしまいます。

三角不等式は、ほかの概念の定義にも使われます。多くは距離に関係するもので、そこではこの考え方がいちばん自然です。現実の世界の距離で考えると、東京から大阪へまっすぐ（直線距離で）行く道のりは、東京から金沢へ行き、それから金沢から大阪へ行く道のりより、たしかに短くなります。

三角形の種類

三角形は、ふつう辺の長さや角の大きさによって、いくつかの種類に分けられます。

• 正三角形は、3つの辺の長さがすべて等しい三角形です。また、内角はすべて60°です。
• 二等辺三角形は、2つの辺の長さが等しく、残りの1辺の長さがちがう三角形です。長さの等しい2辺を等辺、残りの辺を底辺といいます。底辺の両端の角（底角）は、いつも等しくなります。
• 鋭角三角形は、内角がすべて鋭角、つまり90°より小さい三角形です。
• 直角三角形は、1つの角が直角、つまり90°の三角形です。三角形は2つの直角をもつことはできません。内角の和は180°なので、3つ目の角が0°になってしまい、それはありえないからです。直角三角形では、有名な三平方の定理が成り立ちます。くわしくは、直角三角形の記事を読んでみてください。
• 鈍角三角形は、1つの角が鈍角、つまり90°より大きい三角形です。三角形は90°より大きい角を2つもつことはできないので、残りの2つの角はかならず鋭角、つまり90°より小さくなることに注意しましょう。