Relations métriques dans le triangle rectangle

Le mathématicien Euclide d’Alexandrie a formulé deux théorèmes sur les triangles, plus précisément sur la hauteur et sur les côtés de l’angle droit. En France, on les enseigne sous le nom de relations métriques dans le triangle rectangle.

Relation sur la hauteur

Cette relation ne fonctionne que dans un triangle rectangle. Voici la situation de départ :

On a ici un triangle ABC, le côté c est l’hypoténuse, le segment h_c est la hauteur relative au côté c. Le point P_c partage le côté c en deux segments : on note c_b le segment AP_c et c_a le segment BP_c.

La relation sur la hauteur dit alors que

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

où h_c désigne la longueur du segment h_c, etc. Autrement dit : si l’on construit un carré de côté h_c et un rectangle de côtés c_a et c_b, ces deux figures ont la même aire. Regarde la figure suivante, où ce carré et ce rectangle sont mis en évidence :

La relation sur la hauteur dit que ces figures ont la même aire. Le carré rouge a pour côté h_c, le rectangle vert a un côté égal à c_a et l’autre égal à c_b.

Tu peux lire la démonstration sur Wikipédia.

Relations sur les côtés de l’angle droit

Cette deuxième relation est elle aussi valable dans un triangle rectangle. Gardons la première figure du triangle :

La deuxième relation affirme alors que

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Si l’on construit un carré de côté a, ce carré a la même aire qu’un rectangle de côtés c et c_a. Tu peux de nouveau observer le carré et le rectangle :

Tu peux de nouveau trouver la démonstration sur Wikipédia.