Teorema de la altura y teorema del cateto

El antiguo matemático alejandrino Euclides formuló dos teoremas sobre los triángulos; en concreto, se refieren a la altura y al cateto.

Teorema de la altura

Este teorema solo es válido en un triángulo rectángulo. Veamos el planteamiento básico:

Tenemos aquí el triángulo ABC, el lado c es la hipotenusa y el segmento h_c es la altura correspondiente al lado c. El punto P_c divide el lado c en dos segmentos: al segmento AP_c lo designamos por c_b y al segmento BP_c lo designamos por c_a.

El teorema de la altura dice entonces que se cumple la relación

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

donde h_c designa la longitud del segmento h_c, etc. Dicho de otro modo: si construyéramos un cuadrado de lado h_c y un rectángulo de lados c_a y c_b, estas figuras tendrían la misma área. Fíjate en la siguiente figura, en la que están resaltados precisamente ese cuadrado y ese rectángulo:

El teorema de la altura dice que estas figuras tienen la misma área. El cuadrado rojo tiene lado h_c, el rectángulo verde tiene un lado igual a c_a y el otro lado igual a c_b.

La demostración del teorema de la altura puedes leerla en Wikipedia.

Teorema del cateto

Este segundo teorema también es válido en un triángulo rectángulo. Nos quedamos con la primera figura del triángulo:

El segundo teorema afirma entonces que

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Si construimos un cuadrado de lado a, ese cuadrado tendrá la misma área que un rectángulo de lados c y c_a. De nuevo puedes ver el cuadrado y el rectángulo:

La demostración puedes encontrarla de nuevo en Wikipedia.