Теореми на Евклид

Древният александрийски математик Евклид е формулирал две теореми за триъгълниците, по-точно за височината и за катета.

Теорема на Евклид за височината

Тази теорема е в сила само в правоъгълен триъгълник. Нека разгледаме основната фигура:

Имаме триъгълник ABC, страната c е хипотенузата, отсечката h_c е височината към страната c. Точката H_c разделя страната c на две отсечки: отсечката AH_c означаваме с c_b, а отсечката BH_c – с c_a.

Теоремата на Евклид за височината гласи, че е в сила връзката

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

където h_c означава дължината на отсечката h_c и т.н. С други думи: ако построим квадрат със страна h_c и правоъгълник със страни c_a и c_b, тези фигури ще имат равни лица. Погледни следната фигура, на която точно такива квадрат и правоъгълник са откроени:

Теоремата на Евклид за височината казва, че тези фигури имат равни лица. Червеният квадрат има страна h_c, зеленият правоъгълник има едната страна равна на c_a, а дължината на другата е равна на c_b.

Теорема на Евклид за катета

И тази втора теорема на Евклид е в сила в правоъгълен триъгълник. Оставаме при първата фигура на триъгълника:

Втората теорема твърди, че

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Ако построим квадрат със страна a, този квадрат ще има същото лице като правоъгълник със страни c и c_a. Пак можеш да разгледаш квадрата и правоъгълника: