Stellingen van Euclides

De oude Alexandrijnse wiskundige Euclides stelde twee stellingen op over driehoeken, die specifiek gaan over de hoogtelijn en de rechthoekszijde.

Hoogtestelling van Euclides

Deze stelling werkt alleen in een rechthoekige driehoek. Laten we naar de basisopgave kijken:

We hebben hier een driehoek ABC, zijde c is de schuine zijde, lijnstuk h_c is de hoogtelijn op zijde c. Punt H_c verdeelt zijde c in twee lijnstukken: lijnstuk AH_c noemen we c_b en lijnstuk BH_c noemen we c_a.

De hoogtestelling van Euclides zegt dan dat het volgende verband geldt:

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

waarbij h_c de lengte van lijnstuk h_c aanduidt enzovoort. Met andere woorden: als we een vierkant met zijde h_c en een rechthoek met zijden c_a en c_b zouden maken, dan zouden deze figuren dezelfde oppervlakte hebben. Kijk naar de volgende afbeelding, waarin precies zo'n vierkant en rechthoek zijn gemarkeerd:

De hoogtestelling van Euclides zegt dat deze figuren dezelfde oppervlakte hebben. Het rode vierkant heeft zijde h_c, de groene rechthoek heeft één zijde gelijk aan c_a en de lengte van de andere zijde is gelijk aan c_b.

Rechthoekszijdestelling van Euclides

Ook deze tweede stelling van Euclides geldt in een rechthoekige driehoek. We blijven bij de eerste afbeelding van de driehoek:

De tweede stelling beweert dan dat

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Als we een vierkant met zijde a maken, dan heeft dit vierkant dezelfde oppervlakte als een rechthoek met zijden c en c_a. Je kunt het vierkant en de rechthoek weer bekijken: