三角形の相似

相似な三角形は、形は同じですが、大きさがちがってもかまいません。一方は、コピー機で図を拡大したときのように、もう一方を拡大または縮小したものです。コピーは回転しても裏返してもかまいません。相似であることは変わりません。

相似な三角形では、対応する角の大きさが等しく、対応する辺の長さの比が等しくなります。図では、辺 a' は辺 a の2倍、辺 b' は b の2倍、c' は c の2倍の長さです。この倍率を相似比といい、k で表します（日本の教科書では相似比を 1:2 のような比の形で書きますが、この記事では簡単に倍率で表します）。どの辺も k 倍の長さになります。

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

図では k = 2 です。k が1より小さく、たとえば $k=\frac{1}{2}$ なら、2つ目の三角形は逆に縮小されたものになります。相似は次のように書きます。

$$\mathrm{△}ABC\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

合同のときと同じように、頂点の順番で対応がわかります。頂点 A は頂点 A' に、B は B' に、C は C' に対応します。合同な三角形は、じつは相似の特別な場合で、相似比が k = 1 のものです。コピーは大きくも小さくもなっていません。

相似条件

2つの三角形が相似かどうかは、すべての角とすべての辺を確かめなくてもわかります。相似条件は合同条件に似ていますが、等しい長さの辺のかわりに、等しい辺の比を探します。

2組の角がそれぞれ等しい： 2つの三角形で、2組の角の大きさがそれぞれ等しければ、相似です。3つ目の角をはかる必要はありません。三角形の内角の和はいつも180°なので、3つ目の角もかならず等しくなるからです。

3組の辺の比がすべて等しい： 2つの三角形で、対応する辺の3つの比がすべて等しければ、相似です。

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい： 2組の対応する辺の比がそれぞれ等しく、その2辺がはさむ角の大きさが等しければ十分です。

例：木の高さ

庭に高い木が生えていて、その高さを正確に知りたいとします。巻尺を持って木に登るのは気が進みません。そこで、高さ2 mのまっすぐな棒を地面に垂直に立てます。棒の影の長さは1.5 mで、同じときの木の影の長さは12 mです。

木とその影と太陽の光線で、三角形ができます。棒とその影と光線で、もう1つの三角形ができます。棒も木も地面に垂直に立っているので、どちらの三角形も根もとの角が直角です。同じときの太陽の光線は同じ角度でさしこむので、影の先の角もどちらの三角形でも等しくなります。2組の角がそれぞれ等しいので、2つの三角形は相似です。

相似比は影からわかります。木の影は、棒の影の k 倍の長さです。

$$k=12÷1.5$$

割り算をします。

$$k=8$$

したがって、木の高さは棒の8倍です。木の高さは次のとおりです。

$$h=8\cdot 2$$

かけ算をします。

$$h=16\text{m}$$

木の高さは16 mです。高さを影の長さで割った値で確かめてみましょう。この値は、どちらの三角形でも等しくなければなりません。棒では $2÷1.5=\frac{4}{3}$、木では $16÷12=\frac{4}{3}$ です。合っています。

面積に注意

辺が k 倍の長さになれば、面積も k 倍になる、と結論したくなります。それはまちがいです。面積は k² 倍になります。

すべての辺が2倍の長さの三角形を考えてみましょう。辺の中点どうしを結ぶと、4つの三角形に分かれ、そのどれもがもとの三角形と合同です。

つまり、相似比が k = 2 なら、面積は2倍ではなく4倍になります（面積比は相似比の2乗）。一般に、三角形 A'B'C' の面積は次のようになります。

$$S^{\prime }=k^2\cdot S,$$

ここで S はもとの三角形の面積です。k = 3 なら、面積は9倍になります。写真と同じです。写真を縦も横も2倍に引きのばすと、紙は4倍必要になります。

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