Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο

Ο αρχαίος μαθηματικός Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια διατύπωσε δύο θεωρήματα που αφορούν τα τρίγωνα, και συγκεκριμένα το ύψος και την κάθετη πλευρά.

Θεώρημα για το ύψος

Το θεώρημα αυτό ισχύει μόνο στο ορθογώνιο τρίγωνο. Ας δούμε τη βασική διάταξη:

Έχουμε εδώ το τρίγωνο ABC, η πλευρά c είναι η υποτείνουσα, το τμήμα υ_c είναι το ύψος προς την πλευρά c. Το σημείο P_c χωρίζει την πλευρά c σε δύο τμήματα: το τμήμα AP_c το συμβολίζουμε c_b και το τμήμα BP_c το συμβολίζουμε c_a.

Το θεώρημα για το ύψος λέει τότε ότι ισχύει η σχέση

$${\upsilon }_c^2=c_a\cdot c_b,$$

όπου υ_c είναι το μήκος του τμήματος υ_c κ.λπ. Με άλλα λόγια: αν κατασκευάζαμε ένα τετράγωνο με πλευρά υ_c και ένα ορθογώνιο με πλευρές c_a και c_b, τότε τα δύο σχήματα θα είχαν το ίδιο εμβαδόν. Δες το επόμενο σχήμα, στο οποίο έχουν τονιστεί ακριβώς ένα τέτοιο τετράγωνο και ένα τέτοιο ορθογώνιο:

Το θεώρημα για το ύψος λέει ότι αυτά τα σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν. Το κόκκινο τετράγωνο έχει πλευρά υ_c, το πράσινο ορθογώνιο έχει τη μία πλευρά ίση με c_a και την άλλη ίση με c_b.

Θεώρημα για την κάθετη πλευρά

Και αυτό το δεύτερο θεώρημα ισχύει στο ορθογώνιο τρίγωνο. Μένουμε στο πρώτο σχήμα του τριγώνου:

Το δεύτερο θεώρημα λέει ότι

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Αν κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με πλευρά a, τότε αυτό το τετράγωνο θα έχει το ίδιο εμβαδόν με ένα ορθογώνιο με πλευρές c και c_a. Και πάλι μπορείς να δεις το τετράγωνο και το ορθογώνιο: