Relações métricas no triângulo retângulo

O antigo matemático Euclides de Alexandria formulou dois teoremas sobre triângulos, que tratam especificamente da altura e do cateto. Hoje eles aparecem nos livros brasileiros como “relações métricas no triângulo retângulo”.

Teorema da altura de Euclides

Esse teorema funciona apenas no triângulo retângulo. Vejamos a configuração básica:

Temos aqui o triângulo ABC, o lado c é a hipotenusa e o segmento h_c é a altura relativa ao lado c. O ponto H_c divide o lado c em dois segmentos: indicamos o segmento AH_c por c_b e o segmento BH_c por c_a (são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa).

O teorema da altura de Euclides diz, então, que vale a relação

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

em que h_c indica o comprimento do segmento h_c etc. Em outras palavras: se construíssemos um quadrado de lado h_c e um retângulo de lados c_a e c_b, essas figuras teriam a mesma área. Observe a figura a seguir, na qual estão destacados justamente esse quadrado e esse retângulo:

O teorema da altura de Euclides diz que essas figuras têm a mesma área. O quadrado vermelho tem lado h_c, o retângulo verde tem um lado de comprimento c_a e o outro lado de comprimento c_b.

Teorema do cateto de Euclides

Também esse segundo teorema de Euclides vale no triângulo retângulo. Continuamos com a primeira figura do triângulo:

O segundo teorema afirma, então, que

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Se construirmos um quadrado de lado a, esse quadrado terá a mesma área que um retângulo de lados c e c_a. De novo você pode observar o quadrado e o retângulo: