Teoremele înălțimii și catetei

Matematicianul antic Euclid din Alexandria a formulat două teoreme despre triunghiuri, mai precis despre înălțime și catetă.

Teorema înălțimii

Această teoremă este valabilă doar în triunghiul dreptunghic. Să privim configurația de bază:

Avem triunghiul ABC, latura c este ipotenuza, segmentul h_c este înălțimea corespunzătoare laturii c. Punctul H_c (piciorul înălțimii) împarte latura c în două segmente: segmentul AH_c îl notăm cu c_b, iar segmentul BH_c îl notăm cu c_a.

Teorema înălțimii spune atunci că are loc relația

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

unde h_c este lungimea segmentului h_c etc. Cu alte cuvinte: dacă am construi un pătrat cu latura h_c și un dreptunghi cu dimensiunile c_a și c_b, aceste figuri ar avea aceeași arie. Privește figura următoare, în care sunt evidențiate tocmai un astfel de pătrat și un astfel de dreptunghi:

Teorema înălțimii spune că aceste figuri au aceeași arie. Pătratul roșu are latura h_c, dreptunghiul verde are o latură egală cu c_a, iar cealaltă latură este egală cu c_b.

Demonstrația teoremei înălțimii o poți citi pe Wikipedia.

Teorema catetei

Și această a doua teoremă este valabilă în triunghiul dreptunghic. Rămânem la prima figură a triunghiului:

A doua teoremă afirmă că

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Dacă construim un pătrat cu latura a, acest pătrat va avea aceeași arie ca dreptunghiul cu laturile c și c_a. Poți privi din nou pătratul și dreptunghiul:

Demonstrația o poți găsi din nou pe Wikipedia.