Euklids setninger

Den antikke matematikeren Euklid fra Alexandria formulerte to setninger om trekanter, nærmere bestemt om høyden og om kateten.

Euklids høydesetning

Denne setningen fungerer bare i en rettvinklet trekant. La oss se på den grunnleggende situasjonen:

Her har vi trekanten ABC, siden c er hypotenusen, linjestykket h_c er høyden på siden c. Punktet P_c deler siden c i to linjestykker: Linjestykket AP_c kaller vi c_b og linjestykket BP_c kaller vi c_a.

Euklids høydesetning sier da at det gjelder sammenhengen

$$h_c^2=c_a\cdot c_b,$$

der h_c betegner lengden av linjestykket h_c osv. Med andre ord: Hvis vi laget et kvadrat med sidelengde h_c og et rektangel med sidelengdene c_a og c_b, ville disse figurene hatt samme areal. Se på følgende figur, der nettopp et slikt kvadrat og rektangel er framhevet:

Euklids høydesetning sier at disse figurene har samme areal. Det røde kvadratet har sidelengde h_c, det grønne rektangelet har den ene sidelengden lik c_a, og den andre sidelengden er lik c_b.

Euklids katetsetning

Også denne andre setningen til Euklid gjelder i en rettvinklet trekant. Vi holder oss til den første figuren av trekanten:

Den andre setningen påstår da at

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Hvis vi konstruerer et kvadrat med sidelengde a, har dette kvadratet samme areal som et rektangel med sidelengdene c og c_a. Igjen kan du se på kvadratet og rektangelet: