Fatoração de polinômios

Um polinômio pode ser decomposto em um produto de polinômios. Imaginemos que temos o polinômio

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

A constante n indica o grau do polinômio, isto é, o maior expoente que aparece no polinômio e que não tem coeficiente nulo. Por exemplo, o polinômio x³ − 4x² − 5x teria grau 3. Todos os outros expoentes são menores (os expoentes 2 e 1) ou têm coeficiente nulo. Agora podemos dizer que, se encontrarmos uma raiz k do nosso polinômio, vale que existe outro polinômio Q_{n − 1}(x), de grau uma unidade menor, tal que

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Parece complicado, mas na prática isso diz que, quando conhecemos uma raiz do polinômio P_n(x), somos capazes de encontrar outro polinômio Q_{n − 1}(x) que, multiplicado pela expressão (x − k), nos dá o polinômio original P_n(x), sendo que o polinômio Q_{n − 1}(x) tem grau uma unidade menor que o polinômio P_n(x). Quando olhamos para o nosso polinômio P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, vemos que uma das raízes do polinômio é o número k₁ = 0 (porque, quando substituímos x por zero no polinômio, a expressão inteira é igual a zero). E, portanto, tem de valer que existe um polinômio Q₂(x) tal que

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Aqui será fácil, porque x − 0 é, evidentemente, igual a x, e assim obtemos a equação:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Do polinômio original P₃(x) basta colocar em evidência o x e obtemos o nosso novo polinômio Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Essa é a primeira fatoração do polinômio. Conseguimos decompor o polinômio original x³ − 4x² − 5x no produto de (x − 0) por x² − 4x − 5, que é um polinômio de grau menor. Esse polinômio x² − 4x − 5, porém, pode ser decomposto mais uma vez. Quando resolvemos a equação do 2º grau

$$x^2-4x-5=0$$

descobrimos que as raízes dessa equação são os números k₂ = 5 e k₃ = −1. Deveríamos, então, ser capazes de encontrar um polinômio Q₁(x) tal que

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Descobrir o polinômio Q₁(x) não é tão simples, mas podemos nos ajudar, por exemplo, com a divisão de polinômios. Assim descobrimos que o polinômio resultante é Q₁(x) = x + 1, então podemos escrever

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

O polinômio original inteiro P₃(x) é igual a:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Se fatorarmos o polinômio inteiro assim, conseguimos ler perfeitamente cada uma das raízes. Se qualquer uma dessas expressões do produto for igual a zero, a expressão inteira será igual a zero. Por isso, pela escrita, é evidente que as raízes do polinômio são justamente os números k₁ = 0, k₂ = 5 e k₃ = −1.