Faktorisering av polynom

Ett polynom kan faktoriseras, alltså skrivas som en produkt av polynom. Tänk dig att vi har polynomet

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Konstanten n anger polynomets grad, alltså den högsta exponenten som finns i polynomet och som inte har koefficienten noll. Som exempel har polynomet x³ − 4x² − 5x graden 3. Alla andra exponenter är antingen lägre (exponenterna 2 och 1) eller har koefficienten noll. Nu kan vi säga att om vi hittar något nollställe k till vårt polynom gäller det att det finns ett annat polynom Q_{n − 1}(x) som har en grad lägre och att

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Det låter krångligt, men det säger faktiskt att när vi känner till ett nollställe till polynomet P_n(x) kan vi hitta ett annat polynom Q_{n − 1}(x) som ger det ursprungliga polynomet P_n(x) när vi multiplicerar det med uttrycket (x − k), och polynomet Q_{n − 1}(x) har en grad lägre än polynomet P_n(x). Om vi tittar på vårt polynom P₃(x) = x³ − 4x² − 5x ser vi att ett av polynomets nollställen är talet k₁ = 0 (eftersom hela uttrycket blir noll när vi sätter in noll för x i polynomet). Alltså måste det finnas ett polynom Q₂(x) sådant att

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Här har vi det enkelt, eftersom x − 0 förstås är lika med x, och vi får alltså ekvationen:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Det räcker att bryta ut x ur det ursprungliga polynomet P₃(x), så får vi vårt nya polynom Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Det är den första faktoriseringen av polynomet. Det ursprungliga polynomet x³ − 4x² − 5x kunde vi skriva som produkten av (x − 0) och x² − 4x − 5, som är ett polynom av lägre grad. Det här polynomet x² − 4x − 5 kan vi dock faktorisera ytterligare. När vi löser andragradsekvationen

$$x^2-4x-5=0$$

ser vi att ekvationens rötter är talen k₂ = 5 och k₃ = −1. Vi borde alltså kunna hitta ett polynom Q₁(x) sådant att

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Att ta reda på polynomet Q₁(x) är inte helt enkelt, men vi kan till exempel ta hjälp av polynomdivision. Då får vi fram att det sökta polynomet är Q₁(x) = x + 1, så vi kan skriva

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Hela det ursprungliga polynomet P₃(x) är lika med:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

När vi faktoriserar hela polynomet på det här sättet kan vi läsa av alla nollställen direkt. Om någon av faktorerna i produkten är lika med noll är hela uttrycket lika med noll. Därför framgår det av skrivsättet att polynomets nollställen är precis talen k₁ = 0, k₂ = 5 och k₃ = −1.