Разлагане на многочлени на множители

Многочленът, или полиномът, може да се разложи на произведение на полиноми. Нека си представим, че имаме полином

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Константата n означава степента на полинома, т.е. най-високия степенен показател, който се среща в полинома и пред който няма нулев коефициент. Например полиномът x³ − 4x² − 5x е от степен 3. Всички останали степенни показатели са или по-ниски (показатели 2 и 1), или пред тях има нулев коефициент. Сега можем да кажем, че ако намерим някакъв корен k на нашия полином, то съществува друг полином Q_{n − 1}(x), който е с една степен по-малък, и

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Звучи сложно, но всъщност казва, че когато знаем корен на полинома P_n(x), можем да намерим друг полином Q_{n − 1}(x), който, умножен с израза (x − k), дава първоначалния полином P_n(x), като степента на полинома Q_{n − 1}(x) е с единица по-ниска от степента на P_n(x). Като погледнем нашия полином P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, виждаме, че един от корените на полинома е числото k₁ = 0 (защото когато заместим x в полинома с нула, целият израз е равен на нула). И следователно трябва да съществува полином Q₂(x) такъв, че

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Тук ще е лесно, защото x − 0 е, разбира се, равно на x и следователно получаваме уравнението:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

От първоначалния полином P₃(x) е достатъчно да изнесем пред скоби x и получаваме новия си полином Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Това е първото разлагане на полинома на множители. Първоначалния полином x³ − 4x² − 5x успяхме да разложим на произведението на (x − 0) по x² − 4x − 5, което е полином от по-ниска степен. Този полином x² − 4x − 5 обаче можем да разложим още. Когато решим квадратното уравнение

$$x^2-4x-5=0$$

установяваме, че корените на това уравнение са числата k₂ = 5 и k₃ = −1. Значи трябва да можем да намерим полином Q₁(x) такъв, че

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Да намерим полинома Q₁(x) не е съвсем лесно, можем да си помогнем например с деление на многочлени. Така установяваме, че търсеният полином е Q₁(x) = x + 1, така че можем да запишем

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Целият първоначален полином P₃(x) е равен на:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Ако разложим по този начин целия полином, веднага виждаме отделните корени. Ако който и да е от множителите в произведението е равен на нула, целият израз ще е равен на нула. Затова от записа е очевидно, че корените на полинома са точно числата k₁ = 0, k₂ = 5 и k₃ = −1.