Faktorisering av polynomer

Et polynom kan faktoriseres til et produkt av polynomer. La oss tenke oss at vi har polynomet

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Konstanten n er graden til polynomet, altså den høyeste eksponenten i polynomet som har en koeffisient forskjellig fra null. For eksempel har polynomet x³ − 4x² − 5x grad 3. Alle de andre eksponentene er enten lavere (eksponentene 2 og 1), eller så har de koeffisient null. Nå kan vi si at hvis vi finner et nullpunkt k til polynomet vårt, finnes det et annet polynom Q_{n − 1}(x) som har én grad lavere, og

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Det høres komplisert ut, men det sier egentlig at når vi kjenner et nullpunkt til polynomet P_n(x), kan vi finne et annet polynom Q_{n − 1}(x) som gir det opprinnelige polynomet P_n(x) når vi multipliserer det med uttrykket (x − k), og polynomet Q_{n − 1}(x) har én grad lavere enn polynomet P_n(x). Når vi ser på polynomet vårt P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, ser vi at ett av nullpunktene er tallet k₁ = 0 (fordi når vi setter inn null for x i polynomet, blir hele uttrykket lik null). Da må det finnes et polynom Q₂(x) slik at

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Her blir det enkelt, fordi x − 0 selvsagt er lik x, og dermed får vi likningen:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Fra det opprinnelige polynomet P₃(x) er det nok å sette x utenfor parentes, så får vi det nye polynomet vårt Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Dette er den første faktoriseringen av polynomet til et produkt. Det opprinnelige polynomet x³ − 4x² − 5x klarte vi å faktorisere til produktet av (x − 0) og x² − 4x − 5, som er et polynom av lavere grad. Dette polynomet x² − 4x − 5 kan vi imidlertid faktorisere videre. Når vi løser andregradslikningen

$$x^2-4x-5=0$$

ser vi at løsningene av denne likningen er tallene k₂ = 5 og k₃ = −1. Vi burde altså kunne finne et polynom Q₁(x) slik at

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Å finne polynomet Q₁(x) er ikke helt enkelt, men vi kan for eksempel bruke polynomdivisjon. Da finner vi at polynomet er Q₁(x) = x + 1, så vi kan skrive

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Hele det opprinnelige polynomet P₃(x) er lik:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Når vi faktoriserer hele polynomet på denne måten, kan vi lese av nullpunktene direkte. Hvis en av faktorene i produktet er lik null, er hele uttrykket lik null. Derfor er det åpenbart fra skrivemåten at nullpunktene til polynomet er nøyaktig tallene k₁ = 0, k₂ = 5 og k₃ = −1.