Polinomu Çarpanlarına Ayırma

Bir polinomu, polinomların çarpımı olarak yazabiliriz. Elimizde şu polinom olsun:

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

n sabiti polinomun derecesini, yani polinomda bulunan ve katsayısı sıfır olmayan en büyük üssü gösterir. Örneğin x³ − 4x² − 5x polinomunun derecesi 3’tür. Diğer bütün üsler ya daha küçüktür (2 ve 1 üsleri) ya da katsayıları sıfırdır. Şimdi şunu söyleyebiliriz: Polinomumuzun herhangi bir kökünü k bulursak, bir derece küçük başka bir Q_{n − 1}(x) polinomu vardır ve

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Kulağa karmaşık geliyor, ama aslında şunu söylüyor: P_n(x) polinomunun bir kökünü biliyorsak, (x − k) ifadesiyle çarptığımızda asıl P_n(x) polinomunu veren başka bir Q_{n − 1}(x) polinomunu bulabiliriz; üstelik Q_{n − 1}(x) polinomunun derecesi P_n(x) polinomunun derecesinden bir küçüktür. P₃(x) = x³ − 4x² − 5x polinomuna bakarsak, köklerinden birinin k₁ = 0 olduğunu görürüz (çünkü polinomda x yerine sıfır yazarsak bütün ifade sıfır olur). Demek ki öyle bir Q₂(x) polinomu vardır ki

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Burada işimiz kolay, çünkü x − 0 elbette x’e eşittir; böylece şu eşitliği elde ederiz:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Asıl P₃(x) polinomunda x’i ortak çarpan parantezine almamız yeterli; yeni Q₂(x) polinomumuzu buluruz:

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Bu, polinomun çarpanlarına ilk ayrılışıdır. Asıl x³ − 4x² − 5x polinomunu, (x − 0) ile x² − 4x − 5 çarpımı olarak yazmayı başardık; ikincisi daha düşük dereceli bir polinom. Ama x² − 4x − 5 polinomu da yeniden çarpanlarına ayrılabilir. İkinci dereceden denklemi

$$x^2-4x-5=0$$

çözersek, bu denklemin köklerinin k₂ = 5 ve k₃ = −1 sayıları olduğunu buluruz. Demek ki öyle bir Q₁(x) polinomu bulabilmeliyiz ki

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Q₁(x) polinomunu bulmak pek kolay değil; örneğin polinomlarda bölmeden yardım alabiliriz. Böylece sonuç polinomun Q₁(x) = x + 1 olduğunu buluruz; yani şunu yazabiliriz:

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Asıl P₃(x) polinomunun tamamı şuna eşittir:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Polinomun tamamını böyle çarpanlarına ayırırsak, tek tek kökleri çok güzel okuyabiliriz. Çarpımdaki ifadelerden herhangi biri sıfıra eşitse bütün ifade sıfıra eşit olur. Bu yüzden yazılıştan polinomun köklerinin tam olarak k₁ = 0, k₂ = 5 ve k₃ = −1 sayıları olduğu açıkça görülür.