Polynome in Faktoren zerlegen

Ein Polynom lässt sich in ein Produkt von Polynomen zerlegen. Stellen wir uns vor, wir haben das Polynom

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Die Konstante n bezeichnet den Grad des Polynoms, also den höchsten Exponenten, der im Polynom vorkommt und dessen Koeffizient nicht null ist. Zum Beispiel hätte das Polynom x³ − 4x² − 5x den Grad 3. Alle anderen Exponenten sind entweder niedriger (die Exponenten 2 und 1) oder ihr Koeffizient ist null. Nun können wir sagen: Wenn wir eine Nullstelle k unseres Polynoms finden, dann gibt es ein anderes Polynom Q_{n − 1}(x), das einen Grad niedriger ist, und

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Das klingt kompliziert, aber eigentlich sagt es nur: Wenn wir eine Nullstelle des Polynoms P_n(x) kennen, können wir ein anderes Polynom Q_{n − 1}(x) finden, das wir mit dem Term (x − k) multiplizieren, um das ursprüngliche Polynom P_n(x) zu erhalten, wobei das Polynom Q_{n − 1}(x) um einen Grad niedriger ist als das Polynom P_n(x). Wenn wir uns unser Polynom P₃(x) = x³ − 4x² − 5x ansehen, sehen wir, dass eine der Nullstellen des Polynoms die Zahl k₁ = 0 ist (denn wenn wir im Polynom für x null einsetzen, ist der ganze Term gleich null). Es muss also gelten, dass es ein Polynom Q₂(x) gibt, sodass

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Hier haben wir es einfach, denn x − 0 ist selbstverständlich gleich x, und wir erhalten also die Gleichung:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Aus dem ursprünglichen Polynom P₃(x) genügt es, x auszuklammern, und wir erhalten unser neues Polynom Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Das ist die erste Zerlegung des Polynoms in ein Produkt. Das ursprüngliche Polynom x³ − 4x² − 5x haben wir in das Produkt (x − 0) mal x² − 4x − 5 zerlegt, was ein Polynom niedrigeren Grades ist. Dieses Polynom x² − 4x − 5 können wir aber wieder weiter zerlegen. Wenn wir die quadratische Gleichung

$$x^2-4x-5=0$$

lösen, stellen wir fest, dass die Lösungen dieser Gleichung die Zahlen k₂ = 5 und k₃ = −1 sind. Wir sollten also ein Polynom Q₁(x) finden können, sodass

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Das Polynom Q₁(x) zu bestimmen ist nicht ganz einfach, wir können uns zum Beispiel mit der Polynomdivision helfen. Dabei stellen wir fest, dass das resultierende Polynom Q₁(x) = x + 1 ist, sodass wir schreiben können

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Das ganze ursprüngliche Polynom P₃(x) ist gleich:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Wenn wir das ganze Polynom so zerlegen, können wir die einzelnen Nullstellen wunderbar ablesen. Wenn irgendeiner der Faktoren im Produkt gleich null ist, ist das ganze Produkt gleich null. Deshalb ist aus der Schreibweise offensichtlich, dass die Nullstellen des Polynoms genau die Zahlen k₁ = 0, k₂ = 5 und k₃ = −1 sind.