Factorisation de polynômes en produit

Un polynôme peut être décomposé en un produit de polynômes. Supposons que nous ayons le polynôme

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

La constante n désigne le degré du polynôme, c’est-à-dire le plus grand exposant présent dans le polynôme dont le coefficient n’est pas nul. Par exemple, le polynôme x³ − 4x² − 5x est de degré 3. Tous les autres exposants sont soit inférieurs (les exposants 2 et 1), soit leur coefficient est nul. On peut maintenant affirmer que si l’on trouve une racine k de notre polynôme, il existe un autre polynôme Q_{n − 1}(x), de degré inférieur d’une unité, tel que

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Cela paraît compliqué, mais cela signifie en fait que si l’on connaît une racine du polynôme P_n(x), on peut trouver un autre polynôme Q_{n − 1}(x) qui, multiplié par l’expression (x − k), redonne le polynôme initial P_n(x) ; le polynôme Q_{n − 1}(x) est d’un degré de moins que P_n(x). Regardons notre polynôme P₃(x) = x³ − 4x² − 5x : l’une de ses racines est le nombre k₁ = 0 (car si l’on substitue zéro à x dans le polynôme, toute l’expression vaut zéro). Il doit donc exister un polynôme Q₂(x) tel que

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Ici c’est simple, car x − 0 vaut évidemment x, et l’on obtient l’égalité :

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Il suffit de mettre x en facteur dans le polynôme P₃(x) pour obtenir le nouveau polynôme Q₂(x) :

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

C’est la première factorisation. Nous avons décomposé le polynôme x³ − 4x² − 5x en un produit de (x − 0) et de x² − 4x − 5, qui est un polynôme de degré inférieur. Mais ce polynôme x² − 4x − 5 peut encore être décomposé. Si l’on résout l’équation du second degré

$$x^2-4x-5=0$$

on trouve que les solutions de cette équation sont les nombres k₂ = 5 et k₃ = −1. On doit donc pouvoir trouver un polynôme Q₁(x) tel que

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Déterminer le polynôme Q₁(x) n’est pas tout à fait immédiat, on peut s’aider par exemple de la division de polynômes. On trouve ainsi que le polynôme cherché est Q₁(x) = x + 1, d’où

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Le polynôme initial P₃(x) vaut donc :

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Lorsque l’on décompose ainsi le polynôme entier, on peut lire facilement ses racines. Si l’un des facteurs du produit est nul, toute l’expression est nulle. Il est donc évident que les racines du polynôme sont les nombres k₁ = 0, k₂ = 5 et k₃ = −1.