Polinomok szorzattá alakítása

A polinom szorzattá alakítható, vagyis felbontható polinomok szorzatára. Képzeljük el, hogy van egy polinomunk:

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Az n konstans a polinom fokát jelöli, vagyis a legmagasabb kitevőt, amely előfordul a polinomban, és amelynek az együtthatója nem nulla. Például az x³ − 4x² − 5x polinom foka 3. Az összes többi kitevő vagy alacsonyabb (a 2 és az 1), vagy nulla az együtthatója. Most már mondhatjuk, hogy ha találunk a polinomunknak valamilyen k gyökét, akkor létezik egy másik, eggyel alacsonyabb fokú Q_{n − 1}(x) polinom, amelyre

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Bonyolultan hangzik, de tulajdonképpen azt mondja, hogy ha ismerjük a P_n(x) polinom egy gyökét, meg tudunk találni egy másik Q_{n − 1}(x) polinomot, amelyet az (x − k) kifejezéssel megszorozva az eredeti P_n(x) polinomot kapjuk, és a Q_{n − 1}(x) polinom foka eggyel alacsonyabb, mint a P_n(x) polinomé. Ha megnézzük a P₃(x) = x³ − 4x² − 5x polinomunkat, látjuk, hogy az egyik gyöke a k₁ = 0 szám (mert ha x helyére nullát helyettesítünk a polinomban, az egész kifejezés nulla lesz). Tehát léteznie kell olyan Q₂(x) polinomnak, hogy

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Itt könnyű dolgunk lesz, mert az x − 0 természetesen egyenlő x-szel, így ezt az egyenletet kapjuk:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Az eredeti P₃(x) polinomból elég kiemelni az x-et, és megkapjuk az új Q₂(x) polinomunkat:

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Ez a polinom első felbontása szorzattá. Az eredeti x³ − 4x² − 5x polinomot sikerült felbontanunk az (x − 0) és az x² − 4x − 5 szorzatára, amely utóbbi alacsonyabb fokú polinom. Ez az x² − 4x − 5 polinom azonban tovább bontható. Ha megoldjuk a másodfokú egyenletet

$$x^2-4x-5=0$$

kiderül, hogy ennek az egyenletnek a gyökei a k₂ = 5 és a k₃ = −1 számok. Tehát meg kell tudnunk találni olyan Q₁(x) polinomot, hogy

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

A Q₁(x) polinom megállapítása nem egészen egyszerű, segíthet például a polinomok osztása. Így megtudjuk, hogy a keresett polinom Q₁(x) = x + 1, tehát felírhatjuk

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

A teljes eredeti P₃(x) polinom tehát:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Ha így felbontjuk az egész polinomot, szépen le tudjuk olvasni az egyes gyököket. Ha a szorzatban bármelyik kifejezés nulla, az egész kifejezés nulla lesz. Ezért ebből az alakból nyilvánvaló, hogy a polinom gyökei pontosan a k₁ = 0, k₂ = 5 és k₃ = −1 számok.