Polynomin jakaminen tekijöihin

Polynomin voi jakaa polynomien tuloksi. Kuvitellaan, että meillä on polynomi

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Vakio n merkitsee polynomin astetta eli suurinta eksponenttia, joka polynomissa esiintyy ja jonka kerroin ei ole nolla. Esimerkiksi polynomin x³ − 4x² − 5x aste olisi 3. Kaikki muut eksponentit ovat joko pienempiä (eksponentit 2 ja 1) tai niiden kerroin on nolla. Nyt voimme sanoa, että jos löydämme polynomimme nollakohdan k, niin on olemassa toinen polynomi Q_{n − 1}(x), jonka aste on yhtä pienempi ja

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Se kuulostaa monimutkaiselta, mutta itse asiassa se sanoo, että kun tunnemme polynomin P_n(x) nollakohdan, voimme löytää toisen polynomin Q_{n − 1}(x), joka kerrottuna lausekkeella (x − k) antaa alkuperäisen polynomin P_n(x), ja polynomin Q_{n − 1}(x) aste on yhtä pienempi kuin polynomin P_n(x). Kun katsomme polynomiamme P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, näemme, että yksi polynomin nollakohdista on luku k₁ = 0 (koska kun polynomiin sijoitetaan x:n paikalle nolla, koko lauseke on nolla). Siis on oltava olemassa polynomi Q₂(x), jolle

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Tässä meillä on helppoa, koska x − 0 on tietenkin yhtä suuri kuin x, ja saamme siis yhtälön:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Alkuperäisestä polynomista P₃(x) riittää erottaa yhteinen tekijä x, jolloin saamme uuden polynomimme Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Tämä on polynomin ensimmäinen jako tuloksi. Pystyimme jakamaan alkuperäisen polynomin x³ − 4x² − 5x tuloksi (x − 0) kertaa x² − 4x − 5, joka on alempaa astetta oleva polynomi. Tämän polynomin x² − 4x − 5 voi taas jakaa edelleen. Kun ratkaisemme toisen asteen yhtälön

$$x^2-4x-5=0$$

huomaamme, että tämän yhtälön juuret ovat luvut k₂ = 5 ja k₃ = −1. Meidän pitäisi siis pystyä löytämään polynomi Q₁(x), jolle

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Polynomin Q₁(x) selvittäminen ei ole aivan yksinkertaista, mutta apuna voi käyttää vaikkapa polynomien jakolaskua. Sillä saadaan selville, että tuloksena oleva polynomi on Q₁(x) = x + 1, joten voimme kirjoittaa

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Koko alkuperäinen polynomi P₃(x) on yhtä suuri kuin:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Kun polynomi jaetaan näin kokonaan tekijöihin, nollakohdat näkee siitä suoraan. Jos mikä tahansa tulon tekijöistä on nolla, koko lauseke on nolla. Siksi merkinnästä on ilmeistä, että polynomin nollakohdat ovat juuri luvut k₁ = 0, k₂ = 5 ja k₃ = −1.