Παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Ένα πολυώνυμο μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων. Ας φανταστούμε ότι έχουμε το πολυώνυμο

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Η σταθερά n δείχνει τον βαθμό του πολυωνύμου, δηλαδή τον μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζεται στο πολυώνυμο και έχει μη μηδενικό συντελεστή. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο x³ − 4x² − 5x έχει βαθμό 3. Όλοι οι άλλοι εκθέτες είναι είτε μικρότεροι (οι εκθέτες 2 και 1) είτε έχουν μηδενικό συντελεστή. Τώρα μπορούμε να πούμε ότι, αν βρούμε κάποια ρίζα k του πολυωνύμου μας, τότε ισχύει ότι υπάρχει άλλο πολυώνυμο Q_{n − 1}(x), κατά έναν βαθμό μικρότερο, τέτοιο ώστε

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα λέει ότι, όταν γνωρίζουμε μια ρίζα του πολυωνύμου P_n(x), μπορούμε να βρούμε ένα άλλο πολυώνυμο Q_{n − 1}(x) το οποίο, αν το πολλαπλασιάσουμε με την παράσταση (x − k), μας δίνει το αρχικό πολυώνυμο P_n(x), ενώ το πολυώνυμο Q_{n − 1}(x) έχει βαθμό κατά ένα μικρότερο από το P_n(x). Αν κοιτάξουμε το πολυώνυμό μας P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, βλέπουμε ότι μία από τις ρίζες του πολυωνύμου είναι ο αριθμός k₁ = 0 (επειδή όταν στο πολυώνυμο αντικαταστήσουμε το x με μηδέν, ολόκληρη η παράσταση γίνεται ίση με μηδέν). Άρα πρέπει να ισχύει ότι υπάρχει πολυώνυμο Q₂(x) τέτοιο ώστε

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Εδώ τα πράγματα είναι απλά, επειδή το x − 0 είναι προφανώς ίσο με x και έτσι παίρνουμε την εξίσωση:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Από το αρχικό πολυώνυμο P₃(x) αρκεί να βγάλουμε κοινό παράγοντα το x και παίρνουμε το νέο μας πολυώνυμο Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Αυτή είναι η πρώτη ανάλυση του πολυωνύμου σε γινόμενο. Το αρχικό πολυώνυμο x³ − 4x² − 5x το αναλύσαμε στο γινόμενο (x − 0) επί x² − 4x − 5, που είναι πολυώνυμο μικρότερου βαθμού. Αυτό το πολυώνυμο x² − 4x − 5 όμως μπορούμε πάλι να το αναλύσουμε περαιτέρω. Όταν λύσουμε την εξίσωση δευτέρου βαθμού

$$x^2-4x-5=0$$

βρίσκουμε ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι αριθμοί k₂ = 5 και k₃ = −1. Θα πρέπει λοιπόν να μπορούμε να βρούμε πολυώνυμο Q₁(x) τέτοιο ώστε

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Το να βρούμε το πολυώνυμο Q₁(x) δεν είναι εντελώς απλό, μπορούμε να βοηθηθούμε για παράδειγμα με διαίρεση πολυωνύμων. Έτσι βρίσκουμε ότι το πολυώνυμο που προκύπτει είναι Q₁(x) = x + 1, οπότε μπορούμε να γράψουμε

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Ολόκληρο το αρχικό πολυώνυμο P₃(x) είναι ίσο με:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Αν αναλύσουμε έτσι ολόκληρο το πολυώνυμο, μπορούμε να διαβάσουμε πολύ όμορφα τις επιμέρους ρίζες. Αν οποιαδήποτε από αυτές τις παραστάσεις στο γινόμενο είναι ίση με μηδέν, ολόκληρη η παράσταση θα είναι ίση με μηδέν. Γι' αυτό είναι φανερό από αυτή τη μορφή ότι οι ρίζες του πολυωνύμου είναι ακριβώς οι αριθμοί k₁ = 0, k₂ = 5 και k₃ = −1.