Opløsning af polynomier i faktorer

Et polynomium kan opløses i faktorer, som er polynomier. Lad os forestille os, at vi har polynomiet

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Konstanten n betegner polynomiets grad, altså den højeste eksponent, der findes i polynomiet, og som ikke har koefficienten nul. For eksempel ville polynomiet x³ − 4x² − 5x have graden 3. Alle andre eksponenter er enten lavere (eksponenterne 2 og 1), eller også har de koefficienten nul. Nu kan vi sige, at hvis vi finder en rod k i vores polynomium, så gælder der, at der findes et andet polynomium Q_{n − 1}(x), hvis grad er én lavere, og

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Det lyder kompliceret, men i virkeligheden siger det, at når vi kender en rod i polynomiet P_n(x), kan vi finde et andet polynomium Q_{n − 1}(x), som, når vi ganger det med udtrykket (x − k), giver det oprindelige polynomium P_n(x), hvor polynomiet Q_{n − 1}(x) har én grad lavere end polynomiet P_n(x). Når vi ser på vores polynomium P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, ser vi, at en af rødderne i polynomiet er tallet k₁ = 0 (fordi når vi indsætter nul for x i polynomiet, bliver hele udtrykket lig med nul). Og så må der gælde, at der findes et polynomium Q₂(x) således, at

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Her har vi det let, fordi x − 0 naturligvis er lig med x, og vi får altså ligningen:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

I det oprindelige polynomium P₃(x) er det nok at sætte x uden for parentes, så får vi vores nye polynomium Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Det er den første opløsning af polynomiet i faktorer. Det oprindelige polynomium x³ − 4x² − 5x kunne vi opløse i produktet (x − 0) gange x² − 4x − 5, som er et polynomium af lavere grad. Dette polynomium x² − 4x − 5 kan vi dog opløse videre. Når vi løser andengradsligningen

$$x^2-4x-5=0$$

finder vi ud af, at løsningerne til denne ligning er tallene k₂ = 5 og k₃ = −1. Vi burde altså kunne finde et polynomium Q₁(x) således, at

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

At finde polynomiet Q₁(x) er ikke helt enkelt, vi kan for eksempel få hjælp af division af polynomier. Her finder vi ud af, at det resulterende polynomium er Q₁(x) = x + 1, så vi kan skrive

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Hele det oprindelige polynomium P₃(x) er lig med:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Når vi opløser hele polynomiet på denne måde, kan vi pænt aflæse de enkelte rødder. Hvis bare ét af udtrykkene i produktet er lig med nul, er hele udtrykket lig med nul. Derfor er det tydeligt af skrivemåden, at rødderne i polynomiet er netop tallene k₁ = 0, k₂ = 5 og k₃ = −1.