Scomposizione di un polinomio in fattori

Un polinomio si può scomporre in un prodotto di polinomi. Supponiamo di avere il polinomio

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

La costante n indica il grado del polinomio, cioè il massimo esponente presente nel polinomio con coefficiente diverso da zero. Per esempio, il polinomio x³ − 4x² − 5x ha grado 3. Tutti gli altri esponenti sono più bassi (gli esponenti 2 e 1) oppure hanno coefficiente nullo. Ora possiamo dire che, se troviamo una radice k del nostro polinomio, esiste un altro polinomio Q_{n − 1}(x), di grado inferiore di uno, tale che

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Sembra complicato, ma in pratica dice che, se conosciamo una radice del polinomio P_n(x), riusciamo a trovare un altro polinomio Q_{n − 1}(x) che, moltiplicato per l’espressione (x − k), ci dà il polinomio di partenza P_n(x); il polinomio Q_{n − 1}(x) ha grado inferiore di uno rispetto a P_n(x). Se guardiamo il nostro polinomio P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, vediamo che una delle radici è il numero k₁ = 0 (perché sostituendo zero al posto di x nel polinomio, l’intera espressione è uguale a zero). Deve quindi esistere un polinomio Q₂(x) tale che

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Qui è facile, perché x − 0 è ovviamente uguale a x, e quindi otteniamo l’uguaglianza:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Dal polinomio di partenza P₃(x) basta raccogliere x per ottenere il nuovo polinomio Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Questa è la prima scomposizione del polinomio in un prodotto. Siamo riusciti a scomporre il polinomio x³ − 4x² − 5x nel prodotto di (x − 0) per x² − 4x − 5, che è un polinomio di grado inferiore. Anche il polinomio x² − 4x − 5, però, si può scomporre ulteriormente. Risolvendo l’equazione di secondo grado

$$x^2-4x-5=0$$

scopriamo che le radici di questa equazione sono i numeri k₂ = 5 e k₃ = −1. Dovremmo quindi poter trovare un polinomio Q₁(x) tale che

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Trovare il polinomio Q₁(x) non è del tutto semplice; possiamo aiutarci per esempio con la divisione tra polinomi. In questo modo scopriamo che il polinomio cercato è Q₁(x) = x + 1, quindi possiamo scrivere

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

L’intero polinomio di partenza P₃(x) è quindi uguale a:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Se scomponiamo in questo modo l’intero polinomio, possiamo leggere benissimo le singole radici. Se uno qualsiasi dei fattori del prodotto è uguale a zero, l’intera espressione è uguale a zero. Dalla scrittura è quindi evidente che le radici del polinomio sono esattamente i numeri k₁ = 0, k₂ = 5 e k₃ = −1.