Descompunerea polinoamelor în factori

Un polinom poate fi descompus în produs de polinoame. Să ne imaginăm că avem polinomul

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

Constanta n reprezintă gradul polinomului, adică cel mai mare exponent care apare în polinom și al cărui coeficient nu este nul. De exemplu, polinomul x³ − 4x² − 5x ar avea gradul 3. Toți ceilalți exponenți sunt fie mai mici (exponenții 2 și 1), fie au coeficientul nul. Acum putem spune că, dacă găsim o rădăcină k a polinomului nostru, atunci există un alt polinom Q_{n − 1}(x), de grad mai mic cu unu, astfel încât

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Sună complicat, dar de fapt spune că, dacă știm o rădăcină a polinomului P_n(x), putem găsi alt polinom Q_{n − 1}(x) care, înmulțit cu expresia (x − k), ne dă polinomul inițial P_n(x), iar polinomul Q_{n − 1}(x) are gradul cu unu mai mic decât polinomul P_n(x). Când ne uităm la polinomul nostru P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, vedem că una dintre rădăcinile polinomului este numărul k₁ = 0 (pentru că dacă în polinom înlocuim x cu zero, întreaga expresie va fi egală cu zero). Prin urmare, trebuie să existe un polinom Q₂(x) astfel încât

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Aici ne este ușor, pentru că x − 0 este, desigur, egal cu x, și astfel obținem egalitatea:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Din polinomul inițial P₃(x) este de ajuns să scoatem factorul comun x și obținem noul nostru polinom Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Aceasta este prima descompunere a polinomului în produs. Polinomul inițial x³ − 4x² − 5x l-am putut descompune în produsul dintre (x − 0) și x² − 4x − 5, care este un polinom de grad mai mic. Dar acest polinom x² − 4x − 5 îl putem descompune mai departe. Când rezolvăm ecuația de gradul al doilea

$$x^2-4x-5=0$$

aflăm că soluțiile acestei ecuații sunt numerele k₂ = 5 și k₃ = −1. Ar trebui deci să putem găsi un polinom Q₁(x) astfel încât

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Aflarea polinomului Q₁(x) nu este chiar simplă, ne putem ajuta, de exemplu, de împărțirea polinoamelor. Astfel aflăm că polinomul rezultat este Q₁(x) = x + 1, deci putem scrie

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

Întregul polinom inițial P₃(x) este egal cu:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Dacă descompunem astfel întregul polinom, putem citi frumos fiecare rădăcină. Dacă oricare dintre acele expresii din produs este egală cu zero, întreaga expresie va fi egală cu zero. De aceea din scriere reiese clar că rădăcinile polinomului sunt exact numerele k₁ = 0, k₂ = 5 și k₃ = −1.