Veeltermen ontbinden in factoren

Een veelterm, oftewel polynoom, kan in factoren worden ontbonden. Stel dat we de veelterm hebben

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

De constante n is de graad van de veelterm, dus de hoogste exponent die in de veelterm voorkomt en waarvan de coëfficiënt niet nul is. De veelterm x³ − 4x² − 5x heeft bijvoorbeeld graad 3. Alle andere exponenten zijn lager (de exponenten 2 en 1) of hebben coëfficiënt nul. Nu kunnen we zeggen dat als we een nulpunt k van onze veelterm vinden, er een andere veelterm Q_{n − 1}(x) bestaat die een graad lager is en waarvoor

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Het klinkt ingewikkeld, maar het zegt eigenlijk dat als we een nulpunt van de veelterm P_n(x) kennen, we een andere veelterm Q_{n − 1}(x) kunnen vinden die, vermenigvuldigd met de uitdrukking (x − k), de oorspronkelijke veelterm P_n(x) geeft, waarbij de veelterm Q_{n − 1}(x) een graad lager is dan de veelterm P_n(x). Als we naar onze veelterm P₃(x) = x³ − 4x² − 5x kijken, zien we dat één van de nulpunten van de veelterm het getal k₁ = 0 is (want als we in de veelterm voor x nul invullen, is de hele uitdrukking gelijk aan nul). Er moet dus een veelterm Q₂(x) bestaan zodat

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Hier is het eenvoudig, want x − 0 is natuurlijk gelijk aan x en we krijgen dus de vergelijking:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

Uit de oorspronkelijke veelterm P₃(x) hoeven we alleen x buiten haakjes te brengen en we krijgen onze nieuwe veelterm Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Dat is de eerste ontbinding van de veelterm in factoren. De oorspronkelijke veelterm x³ − 4x² − 5x hebben we kunnen ontbinden in het product van (x − 0) maal x² − 4x − 5, en dat is een veelterm van lagere graad. Deze veelterm x² − 4x − 5 kunnen we echter weer verder ontbinden. Als we de kwadratische vergelijking

$$x^2-4x-5=0$$

oplossen, vinden we dat de oplossingen van deze vergelijking de getallen k₂ = 5 en k₃ = −1 zijn. We zouden dus een veelterm Q₁(x) moeten kunnen vinden zodat

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

De veelterm Q₁(x) vinden is niet helemaal eenvoudig, we kunnen bijvoorbeeld de staartdeling van veeltermen gebruiken. Zo vinden we dat de uitkomst de veelterm Q₁(x) = x + 1 is, dus we kunnen schrijven

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

De hele oorspronkelijke veelterm P₃(x) is gelijk aan:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Als we de hele veelterm zo ontbinden, kunnen we de afzonderlijke nulpunten mooi aflezen. Als een van de factoren in het product nul is, is de hele uitdrukking nul. Daarom is uit de notatie duidelijk dat de nulpunten van de veelterm precies de getallen k₁ = 0, k₂ = 5 en k₃ = −1 zijn.