Factorización de polinomios

Un polinomio se puede descomponer en un producto de polinomios. Imaginemos que tenemos el polinomio

$$P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0,$$

La constante n indica el grado del polinomio, es decir, el mayor exponente que aparece en él y cuyo coeficiente no es cero. Por ejemplo, el polinomio x³ − 4x² − 5x tendría grado 3. Todos los demás exponentes son menores (los exponentes 2 y 1) o tienen coeficiente cero. Ahora podemos decir que, si encontramos una raíz k de nuestro polinomio, entonces existe otro polinomio Q_{n − 1}(x) de un grado menos tal que

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Suena complicado, pero en realidad dice que, si conocemos una raíz del polinomio P_n(x), somos capaces de hallar otro polinomio Q_{n − 1}(x) que, multiplicado por la expresión (x − k), nos da el polinomio original P_n(x), y además el polinomio Q_{n − 1}(x) tiene un grado menos que el polinomio P_n(x). Si miramos nuestro polinomio P₃(x) = x³ − 4x² − 5x, vemos que una de sus raíces es el número k₁ = 0 (porque si sustituimos x por cero en el polinomio, toda la expresión vale cero). Por tanto, tiene que existir un polinomio Q₂(x) tal que

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Aquí será fácil, porque x − 0 es naturalmente igual a x y obtenemos la ecuación:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

En el polinomio original P₃(x) basta sacar factor común x y obtenemos nuestro nuevo polinomio Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Esta es la primera descomposición del polinomio en producto. Hemos conseguido descomponer el polinomio original x³ − 4x² − 5x en el producto de (x − 0) por x² − 4x − 5, que es un polinomio de grado menor. Pero este polinomio x² − 4x − 5 se puede descomponer todavía más. Si resolvemos la ecuación de segundo grado

$$x^2-4x-5=0$$

descubrimos que las raíces de esta ecuación son los números k₂ = 5 y k₃ = −1. Deberíamos, pues, poder hallar un polinomio Q₁(x) tal que

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Hallar el polinomio Q₁(x) no es del todo sencillo; nos puede ayudar, por ejemplo, la división de polinomios. Así averiguamos que el polinomio resultante es Q₁(x) = x + 1, de modo que podemos escribir

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot (x+1)$$

El polinomio original P₃(x) entero es igual a:

$$P_3(x)=x\cdot (x-5)\cdot (x+1)$$

Si descomponemos así todo el polinomio, podemos leer a simple vista cada una de las raíces. Si cualquiera de las expresiones del producto es igual a cero, toda la expresión será igual a cero. Por eso, en esta expresión se ve claramente que las raíces del polinomio son justamente los números k₁ = 0, k₂ = 5 y k₃ = −1.