Hyperbool

Een hyperbool is een kegelsnede. Voor elk punt van de hyperbool geldt dat de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee vaste punten altijd hetzelfde is. Overigens is hyperbool in het Nederlands ook een andere benaming voor overdrijving.

Hoe ziet een hyperbool eruit

De vorige definitie klinkt wat beangstigend, dus bekijk eerst de afbeelding van een hyperbool:

Let erop dat de hyperbool, in tegenstelling tot de andere kegelsneden zoals de ellips of de parabool, uit twee krommen bestaat. Wat betekent de vorige definitie? We hebben twee brandpunten, F₁ en F₂. Voor elk punt X op de hyperbool moet gelden dat het verschil |XF₁|−|XF₂| in absolute waarde hetzelfde is.

In de afbeelding hebben we twee punten X₁ en X₂. Voor X₁ komt het verschil uit op: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, in absolute waarde krijgen we dan het resultaat 2. Dezelfde waarde zouden we voor X₂ moeten krijgen. We proberen het: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, in absolute waarde 2 (dat de lengte van zijde X₂F₂ gelijk is aan vijf, kun je bijvoorbeeld met de stelling van Pythagoras uitrekenen).

Als we deze werkwijze op alle punten van de hyperbool toepassen, krijgen we altijd het resultaat 2.

Beschrijving van een hyperbool

Bekijk de uitgebreide afbeelding van de vorige hyperbool:

• De punten F₁ en F₂ heten brandpunten.
• Punt S heet het middelpunt van de hyperbool en ligt in het midden van lijnstuk F₁F₂.
• De lijn F₁F₂ heet de reële as van de hyperbool. De loodlijn op deze as in punt S heet de imaginaire as van de hyperbool.
• De snijpunten van de hyperbool met de reële as heten toppen van de hyperbool, in de afbeelding zijn dat de punten A en B.
• Elk van de lijnstukken AS en BS heet reële halve as van de hyperbool. Hun lengte noteren we met a.
• De lengte van de imaginaire halve as van de hyperbool noteren we met b.
• De afstand van een brandpunt tot het middelpunt heet de lineaire excentriciteit, die noteren we met e. Er geldt het verband:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Om beter te zien waar de lengte van de imaginaire halve as b vandaan komt, bekijk je nog één afbeelding:

Het is dezelfde hyperbool, waarbij vooral de asymptoten zijn bijgekomen, de twee elkaar kruisende paarse lijnen a₁, a₂ die door het middelpunt S gaan. De reële halve as a blijft ongewijzigd, het is nog steeds lijnstuk AS. Nu zetten we op de asymptoot echter punt D uit zo dat de afstand |SD| gelijk is aan de excentriciteit e. De lengte van lijnstuk AD is dan de lengte van de imaginaire halve as van de hyperbool. Zoals uit de afbeelding te zien is, gaat het om een rechthoekige driehoek, daarom kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken en daarom geldt het verband

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

De gebruikte cirkel heeft middelpunt S en laat alleen zien dat de lengte |F₁S| (de excentriciteit) gelijk is aan de lengte |SD|.

Vergelijking van een hyperbool

Bij een hyperbool onderscheiden we twee verschillende gevallen. Het hangt ervan af of de reële as van de hyperbool evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as. Neem een hyperbool met middelpunt S met coördinaten (m, n).

• De reële as is evenwijdig aan de x-as:

Vergelijking:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• De reële as is evenwijdig aan de y-as:

Vergelijking:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$