Υπερβολή

Η υπερβολή είναι κωνική τομή. Για κάθε σημείο της υπερβολής η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά δοσμένα σημεία είναι πάντα ίδια. Παρεμπιπτόντως, στα ελληνικά η λέξη «υπερβολή» σημαίνει και τη μεγαλοποίηση.

Πώς μοιάζει η υπερβολή

Ο προηγούμενος ορισμός ακούγεται λίγο τρομακτικός, γι' αυτό δες πρώτα ένα σχήμα υπερβολής:

Πρόσεξε ότι, σε αντίθεση με τις άλλες κωνικές τομές, όπως η έλλειψη ή η παραβολή, η υπερβολή αποτελείται από δύο καμπύλες. Τι σημαίνει ο προηγούμενος ορισμός; Έχουμε δύο εστίες, τις F₁ και F₂. Για κάθε σημείο X της υπερβολής πρέπει η διαφορά |XF₁|−|XF₂| να είναι ίδια κατ' απόλυτη τιμή.

Στο σχήμα έχουμε δύο σημεία, τα X₁ και X₂. Για το X₁ η διαφορά βγαίνει: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, και κατ' απόλυτη τιμή έχουμε αποτέλεσμα 2. Την ίδια τιμή πρέπει να βρούμε και για το X₂. Ας το δοκιμάσουμε: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, κατ' απόλυτη τιμή 2 (ότι το μήκος της πλευράς X₂F₂ είναι ίσο με πέντε μπορείς να το υπολογίσεις για παράδειγμα με το Πυθαγόρειο θεώρημα).

Αν εφαρμόσουμε αυτή τη διαδικασία σε όλα τα σημεία της υπερβολής, θα βρίσκουμε πάντα αποτέλεσμα 2.

Περιγραφή της υπερβολής

Δες ένα εμπλουτισμένο σχήμα της προηγούμενης υπερβολής:

• Τα σημεία F₁ και F₂ λέγονται εστίες.
• Το σημείο S λέγεται κέντρο της υπερβολής και βρίσκεται στο μέσο του τμήματος F₁F₂.
• Η ευθεία F₁F₂ λέγεται πραγματικός άξονας της υπερβολής. Η κάθετη σε αυτόν τον άξονα στο σημείο S λέγεται φανταστικός άξονας της υπερβολής.
• Τα σημεία τομής της υπερβολής με τον πραγματικό άξονα λέγονται κορυφές της υπερβολής, στο σχήμα είναι τα σημεία A και B.
• Καθένα από τα τμήματα AS και BS λέγεται πραγματικός ημιάξονας της υπερβολής. Το μήκος τους το συμβολίζουμε a.
• Το μήκος του φανταστικού ημιάξονα της υπερβολής το συμβολίζουμε b.
• Η απόσταση της εστίας από το κέντρο λέγεται γραμμική εκκεντρότητα και συμβολίζεται e. Ισχύει η σχέση:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Για να φανεί καλύτερα από πού προκύπτει το μήκος του φανταστικού ημιάξονα b, δες ακόμη ένα σχήμα:

Πρόκειται για την ίδια υπερβολή, στην οποία προστέθηκαν κυρίως οι ασύμπτωτες, δηλαδή οι δύο τεμνόμενες μωβ ευθείες a₁, a₂, που διέρχονται από το κέντρο S. Ο πραγματικός ημιάξονας a μένει αμετάβλητος, εξακολουθεί να είναι το τμήμα AS. Τώρα όμως παίρνουμε πάνω στην ασύμπτωτη ένα σημείο D έτσι ώστε η απόσταση |SD| να είναι ίση με τη γραμμική εκκεντρότητα e. Το μήκος του τμήματος AD δίνει τότε το μήκος του φανταστικού ημιάξονα της υπερβολής. Όπως φαίνεται στο σχήμα, πρόκειται για ορθογώνιο τρίγωνο, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και έτσι ισχύει η σχέση

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ο κύκλος που χρησιμοποιήθηκε έχει κέντρο το σημείο S και δείχνει απλώς ότι το μήκος |F₁S| (η γραμμική εκκεντρότητα) είναι ίσο με το μήκος |SD|.

Εξίσωση της υπερβολής

Στην υπερβολή διακρίνουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις. Εξαρτάται από το αν ο πραγματικός άξονας της υπερβολής είναι παράλληλος στον άξονα x'x ή στον y'y. Έστω υπερβολή με κέντρο S με συντεταγμένες (m, n).

• Ο πραγματικός άξονας είναι παράλληλος στον άξονα x'x:

Εξίσωση:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Ο πραγματικός άξονας είναι παράλληλος στον άξονα y'y:

Εξίσωση:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$