Hyperbel

Hyperbelen er et kjeglesnitt. For hvert punkt på hyperbelen gjelder det at absoluttverdien av differansen mellom avstandene til to faste punkter alltid er den samme. Forresten er «hyperbol» (med o) et annet ord for overdrivelse, men kurven heter hyperbel.

Hvordan ser en hyperbel ut

Den forrige definisjonen høres litt skremmende ut, så se først på figuren av en hyperbel:

Legg merke til at hyperbelen, i motsetning til de andre kjeglesnittene som ellipsen eller parabelen, er satt sammen av to kurver. Hva betyr den forrige definisjonen? Vi har gitt to brennpunkter, F₁ og F₂. For hvert punkt X på hyperbelen må det gjelde at differansen |XF₁|−|XF₂| har samme absoluttverdi.

På figuren har vi to punkter X₁ og X₂. For X₁ får vi differansen: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, og i absoluttverdi får vi resultatet 2. Den samme verdien bør vi få for X₂. La oss prøve: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, i absoluttverdi 2 (at lengden av siden X₂F₂ er lik fem, kan du regne ut for eksempel ved hjelp av Pytagoras' setning).

Hvis vi bruker denne framgangsmåten på alle punktene på hyperbelen, får vi alltid resultatet 2.

Beskrivelse av hyperbelen

Se på den utvidede figuren av den forrige hyperbelen:

• Punktene F₁ og F₂ kalles brennpunkter.
• Punktet S kalles sentrum i hyperbelen og ligger i midtpunktet på linjestykket F₁F₂.
• Linjen F₁F₂ kalles hovedaksen til hyperbelen. Normalen på denne aksen i punktet S kalles den konjugerte aksen til hyperbelen.
• Skjæringspunktene mellom hyperbelen og hovedaksen kalles toppunktene til hyperbelen, på figuren er det punktene A og B.
• Hvert av linjestykkene AS og BS kalles halv hovedakse i hyperbelen. Lengden av dem betegner vi a.
• Lengden av halv konjugert akse i hyperbelen betegner vi b.
• Avstanden fra brennpunktet til sentrum kalles eksentrisitet, og vi betegner den e. Det gjelder sammenhengen:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

For at det skal bli lettere å se hvor lengden av halv konjugert akse b kommer fra, kan du se på enda en figur:

Det er den samme hyperbelen, der det framfor alt har kommet til asymptoter, de to kryssende lilla linjene a₁, a₂ som går gjennom sentrum S. Halv hovedakse a er uendret, det er fortsatt linjestykket AS. Nå avsetter vi imidlertid et punkt D på asymptoten slik at avstanden |SD| er lik eksentrisiteten e. Lengden av linjestykket AD er da lengden av halv konjugert akse i hyperbelen. Som du ser av figuren, er det en rettvinklet trekant, så vi kan bruke Pytagoras' setning, og derfor gjelder sammenhengen

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Sirkelen som er brukt, har sentrum i punktet S og viser bare at lengden |F₁S| (eksentrisiteten) er den samme som lengden |SD|.

Likningen for hyperbelen

For hyperbelen skiller vi mellom to ulike tilfeller. Det kommer an på om hovedaksen til hyperbelen er parallell med x-aksen eller y-aksen. La oss ha en hyperbel med sentrum S med koordinatene (m, n).

• Hovedaksen er parallell med x-aksen:

Likning:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Hovedaksen er parallell med y-aksen:

Likning:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$