Hyperbel

Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt. Für jeden Punkt der Hyperbel gilt, dass der Betrag der Differenz der Abstände von zwei fest gegebenen Punkten immer gleich ist. Übrigens bezeichnet „Hyperbel“ auch in der Rhetorik eine Übertreibung.

Wie eine Hyperbel aussieht

Die vorherige Definition klingt ein wenig furchteinflößend, sieh dir also zuerst das Bild einer Hyperbel an:

Beachte, dass die Hyperbel im Unterschied zu anderen Kegelschnitten wie der Ellipse oder der Parabel aus zwei Kurven besteht. Was bedeutet die vorherige Definition? Wir haben zwei Brennpunkte gegeben, F₁ und F₂. Für jeden Punkt X auf der Hyperbel muss die Differenz |XF₁|−|XF₂| im Betrag gleich sein.

Im Bild haben wir zwei Punkte X₁ und X₂. Für X₁ ergibt sich die Differenz |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, im Betrag erhalten wir also das Ergebnis 2. Denselben Wert sollten wir auch für X₂ erhalten. Probieren wir es: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, im Betrag 2 (dass die Länge der Strecke X₂F₂ gleich fünf ist, kannst du zum Beispiel mit dem Satz des Pythagoras berechnen).

Wenden wir dieses Verfahren auf alle Punkte der Hyperbel an, erhalten wir immer das Ergebnis 2.

Beschreibung der Hyperbel

Sieh dir das erweiterte Bild der vorherigen Hyperbel an:

• Die Punkte F₁ und F₂ heißen Brennpunkte.
• Der Punkt S heißt Mittelpunkt der Hyperbel und liegt in der Mitte der Strecke F₁F₂.
• Die Gerade F₁F₂ heißt Hauptachse der Hyperbel. Die Senkrechte zu dieser Achse im Punkt S heißt Nebenachse der Hyperbel.
• Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Hauptachse heißen Scheitel der Hyperbel, im Bild sind das die Punkte A und B.
• Jede der Strecken AS und BS heißt reelle Halbachse der Hyperbel. Ihre Länge bezeichnen wir mit a.
• Die Länge der imaginären Halbachse der Hyperbel bezeichnen wir mit b.
• Der Abstand des Brennpunkts vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität, wir bezeichnen sie mit e. Es gilt die Beziehung:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Damit besser zu sehen ist, woher die Länge der imaginären Halbachse b kommt, sieh dir noch ein Bild an:

Es handelt sich um dieselbe Hyperbel, zu der vor allem die Asymptoten hinzugekommen sind, das sind die zwei sich kreuzenden violetten Geraden a₁, a₂, die durch den Mittelpunkt S gehen. Die reelle Halbachse a bleibt unverändert, es ist weiterhin die Strecke AS. Nun tragen wir aber auf der Asymptote den Punkt D so ab, dass der Abstand |SD| gleich der Exzentrizität e ist. Die Länge der Strecke AD ist dann die Länge der imaginären Halbachse der Hyperbel. Wie im Bild zu sehen ist, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, wir können also den Satz des Pythagoras verwenden, und deshalb gilt die Beziehung

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Der verwendete Kreis hat seinen Mittelpunkt im Punkt S und zeigt nur, dass die Länge |F₁S| (die Exzentrizität) gleich der Länge |SD| ist.

Gleichung der Hyperbel

Bei der Hyperbel unterscheiden wir zwei verschiedene Fälle. Es kommt darauf an, ob die Hauptachse der Hyperbel parallel zur x-Achse oder zur y-Achse ist. Sei eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt S mit den Koordinaten (m ∣ n) gegeben.

• Die Hauptachse ist parallel zur x-Achse:

Gleichung:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Die Hauptachse ist parallel zur y-Achse:

Gleichung:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$