Хипербола

Хиперболата е конично сечение. За всяка точка на хиперболата абсолютната стойност на разликата на разстоянията до две фиксирани точки е винаги една и съща. Между другото, в езика думата „хипербола“ означава и преувеличение.

Как изглежда хиперболата

Предишното определение звучи малко страшно, затова първо разгледай фигурата на хипербола:

Забележи, че за разлика от другите конични сечения като елипсата или параболата хиперболата се състои от две криви. Какво означава определението? Дадени са два фокуса, F₁ и F₂. За всяка точка X от хиперболата трябва да е изпълнено, че разликата |XF₁|−|XF₂| е по абсолютна стойност една и съща.

На фигурата имаме две точки X₁ и X₂. За X₁ разликата е: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, по абсолютна стойност получаваме 2. Същата стойност трябва да получим и за X₂. Нека опитаме: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, по абсолютна стойност 2 (че дължината на страната X₂F₂ е равна на пет, можеш да пресметнеш например с Питагоровата теорема).

Ако направим същото за всички точки на хиперболата, винаги получаваме 2.

Описание на хиперболата

Разгледай разширената фигура на предишната хипербола:

• Точките F₁ и F₂ се наричат фокуси.
• Точката S се нарича център на хиперболата и лежи в средата на отсечката F₁F₂.
• Правата F₁F₂ се нарича реална ос на хиперболата. Перпендикулярът към тази ос в точката S се нарича имагинерна ос на хиперболата.
• Пресечните точки на хиперболата с реалната ос се наричат върхове на хиперболата, на фигурата това са точките A и B.
• Всяка от отсечките AS и BS се нарича реална полуос на хиперболата. Дължината им означаваме с a.
• Дължината на имагинерната полуос на хиперболата означаваме с b.
• Разстоянието от фокуса до центъра се нарича ексцентрицитет, означаваме го с e. В сила е връзката:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

За да се види по-добре откъде идва дължината на имагинерната полуос b, разгледай още една фигура:

Това е същата хипербола, на която най-вече са добавени асимптотите – двете пресичащи се лилави прави a₁, a₂, които минават през центъра S. Реалната полуос a остава непроменена, пак е отсечката AS. Сега обаче върху асимптотата нанасяме точка D така, че разстоянието |SD| да е равно на ексцентрицитета e. Дължината на отсечката AD тогава е дължината на имагинерната полуос на хиперболата. Както се вижда от фигурата, това е правоъгълен триъгълник, затова можем да използваме Питагоровата теорема и от нея следва връзката

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Използваната окръжност има център в точката S и само показва, че дължината |F₁S| (ексцентрицитетът) е същата като дължината |SD|.

Уравнение на хиперболата

При хиперболата различаваме два случая. Зависи от това дали реалната ос на хиперболата е успоредна на оста x или на оста y. Нека имаме хипербола с център S с координати (m; n).

• Реалната ос е успоредна на оста x:

Уравнение:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Реалната ос е успоредна на оста y:

Уравнение:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$