Hyperbole

L’hyperbole est une conique. Pour chaque point de l’hyperbole, la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixés est toujours la même. Au passage, en français aussi, « hyperbole » désigne également une figure de style : l’exagération.

À quoi ressemble une hyperbole

La définition précédente paraît un peu effrayante, alors regarde d’abord la figure d’une hyperbole :

Remarque que, contrairement aux autres coniques comme l’ellipse ou la parabole, l’hyperbole est formée de deux courbes. Que signifie la définition précédente ? On se donne deux foyers, F₁ et F₂. Pour chaque point X de l’hyperbole, la différence XF₁ − XF₂ doit avoir la même valeur absolue.

Sur la figure, il y a deux points X₁ et X₂. Pour X₁, la différence vaut : X₁F₁ − X₁F₂ = 1 − 3 = −2, et en valeur absolue on obtient 2. On doit trouver la même valeur pour X₂. Essayons : X₂F₁ − X₂F₂ = 3 − 5 = −2, en valeur absolue 2 (tu peux calculer par exemple avec le théorème de Pythagore que le côté X₂F₂ mesure cinq).

Si l’on applique ce procédé à tous les points de l’hyperbole, on obtient toujours le résultat 2.

Description de l’hyperbole

Regarde la figure complétée de l’hyperbole précédente :

• Les points F₁ et F₂ s’appellent les foyers.
• Le point S s’appelle le centre de l’hyperbole et se trouve au milieu du segment F₁F₂.
• La droite F₁F₂ s’appelle l’axe transverse de l’hyperbole. La perpendiculaire à cet axe au point S s’appelle l’axe non transverse de l’hyperbole.
• Les points d’intersection de l’hyperbole avec l’axe transverse s’appellent les sommets de l’hyperbole ; sur la figure, ce sont les points A et B.
• Chacun des segments [AS] et BS s’appelle le demi-axe transverse de l’hyperbole. Sa longueur se note a.
• La longueur du demi-axe non transverse de l’hyperbole se note b.
• La distance du foyer au centre se note e (en France, l’excentricité est plutôt le rapport $\frac{e}{a}$ ; ici, e est une longueur). On a la relation :

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Pour mieux voir d’où vient la longueur du demi-axe non transverse b, regarde encore une figure :

C’est la même hyperbole, à laquelle on a surtout ajouté les asymptotes, les deux droites violettes qui se croisent, a₁ et a₂, et qui passent par le centre S. Le demi-axe transverse a ne change pas, c’est toujours le segment [AS]. Mais maintenant, on place sur l’asymptote un point D tel que la distance SD soit égale à la distance du centre au foyer e. La longueur du segment [AD] représente alors la longueur du demi-axe non transverse de l’hyperbole. Comme on le voit sur la figure, il s’agit d’un triangle rectangle, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore, et on a la relation

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Le cercle utilisé a pour centre le point S et montre seulement que la longueur F₁S (la distance du centre au foyer) est la même que la longueur SD.

Équation de l’hyperbole

Pour l’hyperbole, on distingue deux cas différents. Tout dépend de l’axe transverse de l’hyperbole : il est parallèle soit à l’axe x, soit à l’axe y. Considérons une hyperbole de centre S de coordonnées (m ; n).

• L’axe transverse est parallèle à l’axe x :

Équation :

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• L’axe transverse est parallèle à l’axe y :

Équation :

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$