Hiperbola

Hiperbola este o conică. Pentru fiecare punct al hiperbolei, modulul diferenței distanțelor până la două puncte fixe date este întotdeauna același. Apropo, în limba română „hiperbolă” este și numele unei figuri de stil (exagerarea).

Cum arată hiperbola

Definiția de mai sus sună puțin înfricoșător, așa că privește mai întâi figura hiperbolei:

Observă că, spre deosebire de celelalte conice, ca elipsa sau parabola, hiperbola este alcătuită din două curbe. Ce înseamnă definiția de mai sus? Avem date două focare, F₁ și F₂. Pentru fiecare punct X de pe hiperbolă trebuie ca diferența |XF₁|−|XF₂| să fie aceeași în modul.

În figură avem două puncte, X₁ și X₂. Pentru X₁ diferența este: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, iar în modul obținem 2. Aceeași valoare ar trebui să obținem pentru X₂. Încercăm: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, în modul 2 (faptul că latura X₂F₂ are lungimea 5 poți să-l calculezi, de exemplu, cu teorema lui Pitagora).

Dacă aplicăm această procedură tuturor punctelor hiperbolei, obținem întotdeauna rezultatul 2.

Descrierea hiperbolei

Privește figura completată a hiperbolei de mai sus:

• Punctele F₁ și F₂ se numesc focare.
• Punctul S se numește centrul hiperbolei și se află la mijlocul segmentului F₁F₂.
• Dreapta F₁F₂ se numește axa principală (transversă) a hiperbolei. Perpendiculara pe această axă în punctul S se numește axa secundară (conjugată) a hiperbolei.
• Punctele de intersecție ale hiperbolei cu axa principală se numesc vârfurile hiperbolei; în figură sunt punctele A și B.
• Fiecare dintre segmentele AS și BS se numește semiaxa principală a hiperbolei. Lungimea lor se notează cu a.
• Lungimea semiaxei secundare a hiperbolei se notează cu b.
• Distanța de la un focar la centru se numește excentricitate (liniară) și se notează cu e. (În manualele românești se notează de obicei c, iar „excentricitatea” este raportul $\frac{c}{a}$.) Are loc relația:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Ca să se vadă mai bine de unde provine lungimea semiaxei secundare b, privește încă o figură:

Este aceeași hiperbolă, la care au apărut în plus asimptotele, adică cele două drepte violet încrucișate a₁, a₂, care trec prin centrul S. Semiaxa principală a rămâne neschimbată, este tot segmentul AS. Acum însă punem pe asimptotă punctul D astfel încât distanța |SD| să fie egală cu excentricitatea e. Lungimea segmentului AD reprezintă atunci lungimea semiaxei secundare a hiperbolei. După cum se vede din figură, este vorba de un triunghi dreptunghic, deci putem folosi teorema lui Pitagora și de aceea are loc relația

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Cercul folosit are centrul în punctul S și arată doar că lungimea |F₁S| (excentricitatea) este aceeași cu lungimea |SD|.

Ecuația hiperbolei

La hiperbolă deosebim două cazuri diferite. Depinde dacă axa principală a hiperbolei este paralelă cu axa Ox sau cu Oy. Fie o hiperbolă cu centrul S de coordonate (m, n).

• Axa principală este paralelă cu axa Ox:

Ecuația:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Axa principală este paralelă cu axa Oy:

Ecuația:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$