Hyperbel

Hyperbeln är ett kägelsnitt. För varje punkt på hyperbeln gäller att absolutbeloppet av skillnaden mellan avstånden till två fasta punkter alltid är detsamma. Förresten är ”hyperbol” (med o) på svenska ett annat ord för överdrift.

Så ser en hyperbel ut

Den föregående definitionen låter lite skrämmande, så titta först på en figur av en hyperbel:

Lägg märke till att hyperbeln, till skillnad från andra kägelsnitt som ellipsen eller parabeln, består av två kurvor. Vad betyder den föregående definitionen? Vi har två givna brännpunkter, F₁ och F₂. För varje punkt X på hyperbeln måste skillnaden |XF₁|−|XF₂| ha samma absolutbelopp.

I figuren har vi två punkter X₁ och X₂. För X₁ får vi skillnaden: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, och i absolutbelopp får vi då resultatet 2. Samma värde ska vi få för X₂. Vi provar: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, i absolutbelopp 2 (att längden av sträckan X₂F₂ är fem kan du beräkna till exempel med Pythagoras sats).

Om vi använder det här tillvägagångssättet på alla punkter på hyperbeln får vi alltid resultatet 2.

Beskrivning av hyperbeln

Titta på en utökad figur av den föregående hyperbeln:

• Punkterna F₁ och F₂ kallas brännpunkter.
• Punkten S kallas hyperbelns medelpunkt och ligger mitt på sträckan F₁F₂.
• Linjen F₁F₂ kallas hyperbelns huvudaxel. Normalen till den här axeln i punkten S kallas hyperbelns konjugerade axel.
• Skärningspunkterna mellan hyperbeln och huvudaxeln kallas hyperbelns toppar, i figuren är det punkterna A och B.
• Var och en av sträckorna AS och BS kallas hyperbelns halva huvudaxel. Deras längd betecknar vi a.
• Längden av hyperbelns konjugerade halvaxel betecknar vi b.
• Avståndet från brännpunkten till medelpunkten kallas excentricitet och betecknas e. Det gäller sambandet:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

För att det ska synas bättre var längden av den konjugerade halvaxeln b kommer ifrån, titta på ännu en figur:

Det är samma hyperbel, där det framför allt har tillkommit asymptoter, de två korsade lila linjerna a₁, a₂ som går genom medelpunkten S. Den halva huvudaxeln a är oförändrad, det är fortfarande sträckan AS. Nu avsätter vi dock en punkt D på asymptoten så att avståndet |SD| är lika med excentriciteten e. Längden av sträckan AD är då längden av hyperbelns konjugerade halvaxel. Som du ser i figuren är det en rätvinklig triangel, så vi kan använda Pythagoras sats, och därför gäller sambandet

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Den cirkel som används har medelpunkten i punkten S och visar bara att längden |F₁S| (excentriciteten) är lika med längden |SD|.

Hyperbelns ekvation

För hyperbeln skiljer vi mellan två olika fall. Det beror på om hyperbelns huvudaxel är parallell med x-axeln eller med y-axeln. Vi har en hyperbel med medelpunkten S med koordinaterna (m, n).

• Huvudaxeln är parallell med x-axeln:

Ekvation:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Huvudaxeln är parallell med y-axeln:

Ekvation:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$